Soient

l'équation proposée, et a la première valeur approchée d'une des racines de cette équation. Suivant la méthode dont il s'agit, on substitue a -+-/> à la place de œ, et l'on rejette dans le développement tous les termes où/? monte au-dessus de la première dimension.

Par le développement connu des fonctions, l'équation F (a?) = o devient

F(a) -f- p F'(fl) + ^ V[a) -h . . .= o,

et se réduit d'abord à

d'où l'on tire

Ainsi, a étant une première approximation, si l'on fait b= — prr-v on aura a -f- b pour seconde approximation, et celle-ci donnera de la même manière, en faisante = — =7^ — ^ la troisième approximation

a -f- b -f- c, et ainsi de suite ; de sorte que la valeur de x sera exprimée par la série

Or je remarque que, si b est une quantité très-petite, la valeur de F(a 4- b) sera très-petite de Tordre de b 1 ; car le développement de ¥(a -f- b) donne

mais b = — =77— ; donc

donc, puisque c = — pr— — r-!> la valeur de c sera aussi du même

ordre b 2 . De même, la valeur de F(a + 4 + c) sera de l'ordre de c 2 , et par conséquent de Tordre de ô 4 ; car

F(a + 6 + c) = F(a + 4)+cF'(fl + 6) + -Fia + 4)+...î

F(a + 4) , mais e = — ^ r ; ; donc

F( û + 4 + c) = -F"ifl4.4)4-...;

donc, puisque rf= — r^p — g — —S la valeur de d sera aussi de Tordre

de b\ et ainsi de suite. D'où il s'ensuit que, si ¥(a) est une quantité très-petite, les erreurs des approximations

a -h b, a -h 6 -f- c, û + i+c + rf, ...

seront respectivement de Tordre des puissances 2, 4, 8, ... de F(a).

Ce procédé est assez commode pour le calcul arithmétique; mais, si Ton voulait avoir une formule ordonnée suivant les puissances de F(a), il faudrait développer successivement toutes les fonctions, et Ton trouverait la série

2. On pourrait parvenir plus simplement à cette formule, en tirant la valeur de p de l'équation

F(«) -f-pF» -f- ^ F» 4- -^ F"(*) -f-. . . = o;

on aurait d'abord

et Ton substituerait successivement les premières valeurs de/? dans les termes qui contiennent/? 3 , /»',...; ou bien on supposerait tout de

suite

/? = AF(a) + BF î (a) + CF î (a)+...,

et, égalant à zéro les termes affectés des mêmes puissances de F(a), ce qui donnera les équations nécessaires pour la détermination des coefficients indéterminés A, B, C, . . . , on aurait

AF'(a) + i = o, BF'(«) + — F"(a) = o,

C F'(a) -+- AB F*(«) -+- -^ F"{«) = o,

d'où l'on tire

et la série

aF'»(ci)'

aF'«(â) "*~ a.3F'*(a)

« + AF(/i) + BF 2 (û)-hCF 3 (a)+...

sera la même que celle qu'on a trouvée ci-dessus; ce qui prouve la correspondance des deux méthodes.

3. Mais on peut arriver à ce même résultat par une autre méthode plus directe et plus analytique.

La question consiste à tirer de l'équation

la valeur de p en série. Je puis regarder la quantité a comme une fonction d'une autre quantité a et supposer que a devienne a-\-p lorsque a deviendra % -+• i. Ainsi, comme a devient en général

a 4- ia'-+ a"-\ =a m +. . .

lorsque a devient a -f- i, on aura

p=.ia H a" H r a -4- ... ;

comme la quantité a est indéterminée, je puis la supposer telle que l'on ait F(a)=a; alors F(a-hp) deviendra a-f-i, et l'équation F (a ■+-/>) = o sera a + /=o, laquelle donne sur-le-champ

de sorte qu'on aura

/ , = fl < F («)+^F^)-^FM*)+....

et il n'y aura plus qu'à trouver les valeurs de a\ a", a",

Ces valeurs sont les fonctions dérivées de a, considérée comme fonction de a; or on a pour la détermination de a en a l'équation F (a) = a; donc, si l'on prend les fonctions dérivées relativement à a, en regardant a comme la fonction de a, et qu'on désigne, comme on l'a fait plus haut, par P(a), F"(a), F"(a), ... les fonctions dérivées de F (a) par rapport à a, les fonctions dérivées de F (a), F'(a), ... relativement à a seront a'F'(a), a' F" (a), ..., et l'équation F (a) = x donnera d'abord a'F\a) = i, d'où l'on tire

et de là, en prenant toujours les fonctions dérivées et substituant cette valeur de a\

„ a' ¥»((!) 3a' F' 7 * M V»{a) 3 F» (g) a ~~ F # »ia) + ¥'*[a) ~ F*(ii) + F'*(a) f

On peut trouver ainsi successivement les valeurs de a\ a", a" 9 ..., par lesquelles on pourra continuer aussi loin qu'on voudra la série

qui exprime la valeur de x dans l'équation ¥(œ) = o, et Ton aura la même série qu'on a trouvée ci-dessus.

Cette formule revient à celle qu'Ëuler a donnée dans la seconde Partie du Calcul différentiel (Chap. IX, art. 234). On voit par un Mémoire de Courtivron t imprimé dans le Volume de l'Académie des Sciences pour l'année 1744» qu'Ëuler l'avait déjà trouvée à cette époque, et on peut la compter au nombre des découvertes dont il a enrichi l'Analyse. Par la manière dont nous venons de la présenter, elle est une suite naturelle de la théorie du développement des fonctions.

4. Nous allons maintenant rapprocher les résultats précédents de ceux qu'on peut tirer des séries récurrentes. Suivant la méthode exposée dans la Note VI, pour avoir la valeur de la racine/? de l'équation

V(a) +pT[a) -h Ç F» + ^1 F\'«) +. . . = 0,

il faudrait développer la fraction

suivant les puissances de p; et, si TfP et V/^ 4-1 sont deux termes con-

sécutifs, on aura ^ pour la valeur de p 9 d'autant plus exacte que ces

termes seront plus éloignés du commencement de la série.

Dans la méthode ordinaire, les termes d'une série récurrente se forment les uns d'après les autres; mais cette manière, qui est très-commode pour le calcul arithmétique, n'est pas propre à donner le terme général en fonction des coefficients de l'équation, et il faut pour cela employer d'autres moyens.

5. Pour donner à cette recherche toute la généralité dont elle est susceptible, je vais considérer la fonction fractionnaire

dans laquelle je suppose que f(x) et <p(a?) sont des fonctions de x telles que

f{x) = A 4- Bx 4- Cx* 4- Dx 3 4- . . . ,

9 [x] — P -4- Qx 4- Rx a 4- S* 3 4-

Je représente par

(o)-f(i)jr+(2^ î +(3)i î + .,.

la série résultante du développement de cette fonction suivant les puissances de a;, et je me propose de trouver l'expression du coefficient (n) de la puissance x? 1 .

Je commence par développer la fonction suivant les puissances de f[x) ; j'ai la série

Je considère chacune de ces fractions en particulier, et je cherche les termes multipliés par xf 1 qui peuvent résulter de leur développement.

La fraction — - — donne la série connue

laquelle, étant multipliée par la série représentée par y(x) 9 donnera les termes suivants affectés de x n

où il faut remarquer que, comme les puissances de u dans les dénominateurs vont en diminuant, il faudra s'arrêter au terme divisé par u.

6. Or, si Ton considère la fonction 9(07), qu'on la divise par x"**, qu'ensuite on y change x en u f et qu'on ne retienne que les termes divisés par u ou par des puissances de u, il est aisé de voir qu'on aura de cette manière la série qui multiplie x". Donc la partie multipliée

par x n provenant de la fonction ? ' pourra être représentée par 5-^ af\ en ayant soin de ne retenir que les termes de ^i^J qui auront u au dénominateur.

De la même manière, si l'on cherchait la partie multipliée par a?

provenant du développement de la fraction 9l*K7l g J suivant les puissances de x, on trouverait ^^-/Jr- x", en ne retenant dans "L., que les termes qui auraient une puissance de u au dénominateur. La quantité ? \;l\ u est donc identique avec le coefficient de x" dans le développement de V\ x *^ x > ; donc l'identité subsistera encore entre les fonctions dérivées relativement à u; d'où il suit que la fonction dérivée de ? ,;{; > que nous dénoterons par „+, - » sera égale

au coefficient de x" dans le développement de la fonction dérivée de 9( x )j( x ) relativement à u. .

Or, comme u ne se trouve ici que dans le dénominateur, et que la fonction dérivée de est — , — - — ^» on en conclura tout de suite

q Ue ^"^| M) af 1 sera la partie du développement de — V*/ *r

qui sera multipliée par af, en ayant toujours soin de ne retenir, dans la fonction if, et par conséquent aussi dans sa fonction déri-

v £ e ?v "^j^ , que les termes qui auront u au dénominateur.

On trouvera pareillement que la partie multipliée par x" dans le développement de ? ^ * x ' suivant les puissances de x sera exprimée par ,!, » en ne retenant que les termes divisés par des puis-

sances de u; donc l'identité subsistera encore à l'égard des fonctions dérivées relativement à u; par conséquent, la seconde fonction dérivée

j e 9 ^ u ^y i] relativement à //, que nous dénoterons par ;£., »

sera encore égale à la partie affectée de x n dans le développement de

la seconde fonction dérivée de 2iîLL LfJ. ]yf a i s j a première fonction

dérivée de étant — 7 ^» la seconde sera -. rr; donc, di-

u — x [u — x) 2 [u — xy 1

visant par 2 , on en conclura que „+, «" sera la partie du

développement de rK , \ t * qui sera multipliée para?*, en ayant soin

de ne retenir dans la valeur de * i+\ < ï ue ' es termes divisés

par des puissances de u.

On prouvera, par une analyse semblable, qu'en dénotant par

[ y ' " ./ J" ' la troisième fonction dérivée, relativement à w, de la

fonction <?kU 1 „i, » et supposant qu'on ne retienne dans cette fonction que les termes divisés par des puissances de w, la partie multipliée par x" dans le développement de — ^ il u suivant les puissances

de a? sera exprimée par Tk ' j n i t J a?", et ainsi de suite.

Donc, en rassemblant toutes ces parties, on aura l'expression complète du terme (n)a? du développement de la quantité *'/■( — \

vin. 34

suivant les puissances positives de x % et Ton trouvera

en ayant soin de ne retenir que les termes qui contiendront des puissances négatives de u.

7. Nous remarquerons ici que, en prenant encore successivement les fonctions dérivées suivant u, on pourra avoir les expressions des

termes multipliés par ce? dans les développements de r — __ ' ' . — ^

( l e r y X r, — rrp de f ^ nu > — Ainsi, en désignant par

(/i)', (/i)", (/?)", ... les fonctions dérivées, première, seconde, ... de la fonction de u désignée par (/i), on aura

pour les expressions des termes dont il s'agit. Et, pour avoir les valeurs de (/*)', (n)\ ... 9 il n'y aura qu'à ajouter un trait, deux traits, . . .

aux fonctions ^ry» J+% * •••de l'expression de (n).

8. Supposons qu'on demande le terme général [n)af de la série provenant du développement de la fraction rationnelle

P + Qx

i — 2X cosw-ha;*

On divisera d'abord le numérateur et le dénominateur par acosco

pour le réduire à la forme — — ^— r> et l'on aura, par la comparai-

son avec cette formule,

TV ' 2COSO) 2C0SÛJ

17 ' 2 CUS ÛJ

sCOSco

Donc on aura

Ty ' 2C0S&) 2COSO)

flu) = »

■^"^(•ACOStt)*'

17 v ' (i cossu) 3

Donc

9(11) __ Pif-*-' Qm"

a «+l 2C0SW 2C0SC0

y(ii)/(ii) P »-»+•' Qi<-"+ a

M"" 1 "' ~~(2C0Stt) 2 (acosro) 2 '

< p(n)/ 2 (i<) __ Plj-^3 Qtt"+*

H' 1 *** 1 (2C0S0)) 3 (aCOSû)) 3 '

En prenant les fonctions dérivées par rapport à u 9 on aura donc

L tt"'*' 1 J ~~ (acosto) 2 (acosoi)*

[ >(«)/ 2 (") "T {n-3){n-*)Vu-»+ l t [n - 4) [n- 3)Qm "+ 2

ir.k !•*

2(2CO30jj j 2(2C0Se»>J

et, par conséquent,

' [2C0SW (sCOStk)) 2 ^(^COSto) 8 J

^T ti" (n — 2)1*"+' (/? — 4Hn — 3)k'"- 2 1

L 2C0SW (îCOSWJ 2 2^C0SWJ J J

où il n'y aura plus qu'à substituer au lieu de u sa valeur — —