C0SG
On aura ainsi
(n) r=P (2C0Su)"— (n — i) (acosw)"- 2 -!- **"" II 7 * — * > (î C os«)* *
— - - ^-^ ' îcosw fl - 6 + . ..
-+-Q [icosto)"- 1 — [n — i) (i cos<,)) n * + {n ~' * n ~ (s costa)"" 3
(n 6)(n-5)(ii-4), . . 1
— - - j-^ — (2Cosw)"- 3 -+-. . . ,
où il suffira de ne point admettre de puissances négatives de cosco.
Cette expression peut se réduire à une forme plus simple en employant les formules connues des sinus des angles multiples; on aura par ce moyen
, x sinfn-h i)m ~ sinrcw
sino) sinw
comme Euler Ta trouvé dans Y Introduction à l'Analyse; mais la formule précédente a l'avantage de pouvoir s'appliquer facilement aux fractions dont le dénominateur est une puissance quelconque.
En effet, pour la fraction — — -r?% on aura le terme cé-
1 (I — 2JTC0SW +^f *
néral — (#t)V, et, en prenant la fonction dérivée de l'expression de (n) en u, on aura
' L ^COSto (iCOSO)) 2 2(2C0S6>) 3 J
pur-»--' (n — 2)(/i — \)u-n [ n — 4) [ n 3) (n — 2) «-»+-' __ "]
L^CuSCi) ('2COS&)) 2 2(2C0SWj ;i J 1
et, substituant pour u sa valeur < il viendra
* O fi kC l-\
2COSCJ
— [n]' = P \[n -hi)(2C0sw) /,+l — (n — 1) #1(2 cos*))"- 1
-h * ^ ^ ' (2C0SÛJ)"-» — . .. I
-+-Q n(2coso))"— [n — i)(n — 1) (2cosw)" -2
-+- - -^ ^ i(2COS0))"-"» — ... I,
où il suffira aussi de pousser les séries jusqu'aux puissances négatives de cosc» exclusivement, et ainsi de suite.
9. Reprenons maintenant l'expression générale en u du coefficient (n) de la puissance x n dans le développement de la fraction
Y j, — :» et supposons que le numérateur y(x) soit i —/'(#), ou
plus généralement de la forme J>(#)[i — /'(#)]. c'est-à-dire qu'il soit le produit de la fonction dérivée du dénominateur prise négativement par une fonction $(x), qu'on suppose entière et rationnelle. Faisant la substitution de ty{u)[i —/'{u)] au lieu de <p(w), on aura
Or
et, par conséquent,
Donc, faisant ces réductions et supposant, pour abréger,
V lu) = — — -ï
on aura
w = r(. )+ ^.,y,., + [ÏÏ!|^J + [ÏÏHLÇIïlj- + ....
Cette formule servira à trouver l'expression du terme général (n)oc" dans le développement de la fraction
tt — .sc-h/(.r)
suivant les puissances de x 9 pourvu qu'on ait soin de ne retenir que les termes qui contiennent des puissances négatives de u.
10. Supposons ty(x) =i 9 et par conséquent ty{u)= i 9 V(u) = u-*-*; on aura le terme général (n)x" du développement de la fraction
f ~~* , v * Or, si a, p, y, ... sont les racines de l'équation
u — x+/(jr) = o,
ce terme sera exprime par
par ce qu'on a démontré dans la Note VI (n° 6). On aura donc, en mettant n à la place de n -+■ i,
£+É+i + . -=»- + (MVW - [™û]' + [™4]' + ...,
en ne conservant que les puissances négatives de u. 1 I . Soit proposée, par exemple, l'équation
a — bx -h cr 2 = o,
dont les racines soient a et p.
On la divisera par b pour la réduire à la forme u — x -+-/(x), on
aura /(a?) = -t-> et la valeur de m sera y Donc, changeant x en u
dans/(x), on aura /(h) = -y-> et de là
Donc
ii ne mJ a n(n — 3)c* m ^ m n[n — 5)(n—£)c*
où il n'y aura plus qu'à faire u = g- On aura ainsi
i i fb\» ncfb\ nt n(«— 3)c* /*\*- J » (ii— 5)(w — 4)c» /6\"~ a ? + P = lï) "T\ïj + 35 W ^36i \5J ' f "" ,
en continuant cette série tant qu'il y aura de puissances positives de -•
Si l'on voulait avoir la somme des puissances positives et" -4- P", il n'y aurait qu'à considérer l'équation
ax* — bx -\- c = o,
qui résulte de l'équation précédente, en changeant x en -» et dont les racines sont par conséquent - et * ce qui ne demande que de changer a en c et c en a. On aura donc ainsi
^ieW*V na<by-^ n(n-3)a> (by-> n[m-5) (n-4)*' /*\« 3 , K \c/ 6 \c/ nb \c) a. 36» \c/
