En général, a, p, y, ... étant les racines de l'équation
u — x -+-f[x) = o, on aura
£ étant le coefficient de la plus haute puissance de x, et prenant les fonctions dérivées de part et d'autre,
donc, divisant et changeant les signes,
a — a:— /(x) a — x fi — x y — x
et, multipliant par ty{x),
<H*) fi -/'(*)] = «H*) | »(*) , *[*) ,
Or, ty(x) étant supposé une fonction entière de x, on pourra la diviser par a — x jusqu'à ce qu'on parvienne à un reste sans x, et, pour trouver tout de suite ce reste, il n'y a qu'à considérer que <|>(a) — *\[x) est divisible par a — x, le quotient étant une fonction entière de x et a, que nous désignerons par F(x, a); et, si ty(x) est une fonction du degré m, il est clair que F(x, a) sera du degré m — i . Donc, puisque
on aura
donc
4J£U F ( , i-t) + .ii!0.
On trouvera de même
et ainsi des autres. Donc, en faisant ces substitutions, on aura
En résolvant ces fractions en séries, on aura, après les m premiers termes, dans lesquels se fondent les parties entières — F(x 9 a), — F(œ 9 p), . . ., une suite régulière dont le terme général sera
fil*] , mi + ilzi + 1*„
de sorte qu'on aura, n étant >m,
C'est le terme général de la suite récurrente qui résulte de la fraction
exprimé par les racines a, p, y, ... de l'équation
En comparant cette expression avec l'expression générale de (n) en u trouvée ci-dessus et mettant, pour plus de simplicité, n à la place de n -f- 1 , on aura
+ rïM£iiîir + ....
où W(m) = ^-^> et où Ton ne doit retenir que les termes qui contiendront des puissances négatives de u.
13. Supposons maintenant que l'exposant n soit infiniment grand, en sorte que le terme (/i)^ -1 , auquel il répond dans la série récurrente, soit pris à une très-grande distance de l'origine; on pourra
alors regarder la fonction V(w) = ^\r comme ne contenant que des
puissances négatives de «, et même toutes les fonctions V(u)/(u) 9 V(u)f 2 (u), ... comme ne contenant aussi que des puissances négatives de m; du moins, cette supposition sera d'autant plus exacte que le nombre n sera plus grand. Dans cette hypothèse, il n'y aura aucun terme à rejeter dans l'expression de (/*), et l'on pourra regarder la série
comme allant à l'infini sans aucune interruption.
VIIL 35
27i NOTES SUR LA THÉORIE
14. Or j'observe que toute série de cette forme, dans laquelle V(n) et/(w) sont des fonctions quelconques de u, a cette propriété remarquable que, si on la multiplie par une autre série semblable, dans laquelle, à la place de la fonction V[u) 9 il y ait une autre fonction quelconque n(u), le produit sera encore une série semblable, mais dans laquelle il y aura W(u)U(u) à la place de V(ii). En effet, si Ton multiplie ensemble les deux séries
on a
+ „,.,r*3-!£JïlJ.
Or
V(«)n'(ii)+n(») V(«) = [«F(ii)n(«)]', j-ff(«]^(«)j = , II „ (u)/î(M) + n , (u)/(tt)/ , {B))
p'( M )/»(«) j' = , 4 . g(M)/i(tt) + y . (l<)/itt)/(t<);
donc la série devient.
Y(«)n(ii) + ['r(«)n{«)]'/(«) + }[f(«)n'(«) + aH"(«)n'(«) + ni«) , r»]/«(«) + [T(«)n(ii)]'/(«.)/'(«)+... f
savoir
Y( H )n(.)-t.[y(«)n(i.)T/i.)-HJ r y («) 11 W/'CU , . < -....
Et Ton trouvera la même chose en poussant la multiplication plus loin et en rassemblant les termes qui contiennent les mêmes dimensions de f(u).
Donc, en général, si Ton dénote par [T(a)] la série qui contient la fonction V(n), et de même par [n(//)] la série qui contient n(ii), la fonction f(u) demeurant la même dans les deux séries, il résulte de ce que nous venons de trouver que l'on aura
et, comme cette propriété a lieu quelles que soient les fonctions V(a) etn(ii), si l'on fait W(u)U[u) = ${u), on aura
[¥(«)][n(«)] = [<D(u)]; donc
M-^frfà]'
Mais U(u) = tïttH; donc
c'est-à-dire que le quotient de deux séries semblables, lesquelles contiennent deux fonctions différentes $>(u) et V(ie), sera aussi une semblable fonction qui contiendra le quotient de ces mêmes fonctions.
15. Donc, si l'on prend deux nombres très-grands n et n -+- r, dont la différence r soit un nombre quelconque positif ou négatif, le quotient de la quantité
ii«i + tiêl + 4M + . . .
divisée par la quantité
a «+-r û 71 "*" 7 "' yn+r
sera exprimé par la série infinie
en faisant **(") = « divisé par ^^:> c'est-à-dire V(u) = u r .
et il
D'un autre côté, n étant un nombre infiniment grand, il est visible que les deux quantités ci-dessus se réduisent à leurs premiers termes
ï^i et ^7» a étant la plus petite des racines a, p, y, Donc le
quotient de la première des quantités divisée par la seconde se réduira à a r , d'où résulte ce théorème très-remarquable :
Si a est la plus petite des racines de l'équation on aura
^=, +W /i.)+[i=ï£a.j + [iïtçi-i]' + ...
r étant un nombre quelconque positif ou négatif.
Ainsi Ton a, par cette formule, non-seulement la racine a, mais encore une puissance quelconque de la même racine.
1 6. Si Ton fait maintenant r=n,n étant un nombre fini quelconque, et que Ton compare cette formule avec celle qu'on a donnée plus haut
pour la valeur de -.:-+- ^ -+-—-+-... , on en tirera la conclusion sui-
vante très-singulière :
Si, dans la formule
t ,->. +(M -, r/(M) + [("-"r/M»)j + |-(»-"y/M«)jy..,,
on ne retient que les termes qui ont des puissances négatives de u , elle donne la valeur de la somme des puissances -- n de toutes les racines a, p, y, . . . , et, si l'on y conserve tous les termes, elle ne donnera que la même puissance de la plus petite racine ol.
DES ÉQUATIONS ALGEBRIQUES. 277
17. Ainsi, comme nous avons déjà trouvé plus haut, pour les racines a et p de l'équation ex 2 — bx -+- a — o, on a la formule
en ne continuant la série que tant qu'il y a de puissances positives
de -; si Ton continue cette même série à l'infini sans aucune interruption, on aura alors la valeur du seul terme — ? en prenant pour a la plus
petite des deux racines a et p, et même on pourra y faire n positif ou négatif à volonté.
Les deux racines de l'équation ex 7 — bx -t- a = o étant a et (î, celles
de l'équation ax 2 — bx -+- c = o seront - et 7- » et l'on aura
OC p
1 h |/6* — 4"'-' ' *> sjb 1 — /\«c
a. ia ia (3 ia na
a étant supposée la plus petite des deux racines. Ainsi la série
(by nefby- n(n-3W M«-
en ne retenant que les puissances positives de -> c'est-à-dire les puissances négatives de a, sera égale à
(b + |te* - Uc) n -h{b- y/fr* - \ac)\
[ia) u
n étant un nombre entier quelconque, et, si l'on continue la série à l'infini, elle deviendra égale à
(b+y/b* — $fic\"
V Ta J '
n étant un nombre quelconque positif ou négatif. La première partie de cette proposition est facile à vérifier par
TsS NOTES SUR LA THÉORIE,
le simple développement des puissances n ikme * 9 puisque le radical
\b 2 — 4 ac disparait de lui-même, et d'ailleurs elle est déjà connue par le théorème de Moivre.
Pour vérifier l'autre partie, il faut réduire en série le radical luimême. Ainsi, en faisant, par exemple, n = i, la série devient
b c iac 2 ?>.\a 2 c*
a b ib* 2.36 5
laquelle peut se mettre sous cette forme
b b i oc i i 8///* 2 1.1.3 3o.a 2 c* ia ia 'i b 2.4 b 3 1.^.6 6 5
Or cette série est évidemment égale à
b Jb* — bac
ia in
