Prenons pour second exemple l'équation

On aura encore ici m = 3, et par conséquent n = 3; ensuite

A = o, B= — 7, C = — 7, d'où

Ài=o, À 2 = i4> A 3 = — 11, À4=98, À 3 = — 245, À 6 = 833;

et, de là,

ûj=4^» «2 = 882, «3 = 18669, et enfin

a = fa, b = fâi, c = 49;

de sorte que l'équation en u sera

Puisque les signes de cette équation sont alternatifs, c'est une marque que la proposée peut avoir toutes ses racines réelles (n° 16); et, comme d'ailleurs cette équation n'est point divisible par u, il s'ensuit que l'équation en x n'aura point de racines égales (n° 15).

On fera maintenant (n° ii)v = -t et, ordonnant l'équation par rapport à j, on aura

Le plus grand coefficient négatif étant 9, on pourrait prendre / — 10 (n° 12) ; mais on peut trouver une limite plus rapprochée en cherchant le plus petit nombre entier qui rendra positives ces trois quantités

et l'on trouvera que l=g satisfait à ces conditions; de sorte qu'on aura k = 3 (n° 11), et par conséquent A = =•

On mettra donc (n° 13, 2 ), dans l'équation proposée, -w à la place de x, ce qui la réduira à celle-ci :

dans laquelle il n'y aura plus qu'à substituer les nombres naturels o , i, 2 , . . , à la place de x. Or, suivant la méthode du n° 13 (3°)» on trouve que la série des résultats ne contient que deux variations de signes , lesquels répondent à x = 4 » 5 , 6 ; de sorte que l'équation proposée n'aura que deux racines positives, lesquelles tomberont, l'une

entre les nombres | et ~> et l'autre entre les nombres ^ et p d'où l'on

voit que la valeur entière la plus approchée de l'une et de l'autre sera i

Faisons maintenant x négatif pour avoir aussi les racines négatives (n° 4) , et l'équation se changera en

laquelle , ayant son dernier terme négatif, aura sûrement une racine positive (n° 3), et il est clair qu'elle n'en aura qu'une seule, puisque nous avons déjà trouvé les deux autres ; ainsi on pourra d'abord trouver la valeur entière approchée de cette racine, en substituant à la place de x les nombres o, i, a, ..., jusqu'à ce que Ton rencontre deux substitutions qui donnent des résultats de signe contraire (n° 3) : or on trouve que ces substitutions sont x = 3 et x = [\ , de §orte que 3 sera la valeur entière la plus approchée de x dans l'équation précédente, et par conséquent de — x dans la proposée.

Ayant ainsi trouvé que l'équation a trois racines réelles , deux positives et une négative, et ayant trouvé en même temps leurs valeurs entières approchées , on pourra approcher autant qu'on voudra de la vraie valeur de chacune d'elles par la méthode du Chapitre III.

Considérons d'abord les racines positives, et faisons x = i -f- - dans

l'équation

elle deviendra celle-ci