CET

4. Nous avons vu dans l'Article III du Chapitre V (n°72) que, si —, et -r sont deux fractions convergentes vers une des racines de l'équation en a?, la transformée en /, qui doit servir k trouver la fraction suivante, résulte directement de la substitution de 4- — ^r au lieu de x dans l'équation proposée. Faisons /= — r> on aura

Bj'l/--T-l) )'+!

Cette substitution est, comme l'on voit, analogue à celle que nous

avons employée ci -dessus, en prenant ^ et 4 pour les deux limites

que nous avons nommées a et b.

Or, comme deux fractions consécutives sont elles-mêmes des limites alternativement plus grandes et plus petites que la racine cherchée, et qui se resserrent continuellement, il s'ensuit que les transformées qui répondent aux fractions plus petites que la racine approcheront de plus en plus d'avoir les conditions nécessaires pour pouvoir être de la forme proposée; et les transformées intermédiaires auront la même

propriété, en y substituant -, au lieu de y, car, si m -, > 4> l'exprès-

sion de x devient par cette substitution

r-f- 1 La différence entre les deux fractions ^ et 4 étant — ?-r» lorsque

ET p CJ p '

cette différence sera devenue moindre que la plus petite différence entre les racines de l'équation proposée, c'est-à-dire moindre que la

limite T (Note IV), on sera assuré qu'il ne pourra tomber entre ces

fractions qu'une seule racine; mais, à l'égard des parties réelles des racines imaginaires, il ne sera pas facile de s'assurer a priori qu'elles tombent hors de ces fractions, à moins de former l'équation dont les

racines seraient a— { - 2 et de chercher ensuite une limite plus petite que chacune de ces racines, pour la comparer avec la même différence

Cj'p'

Au reste, quoique les fractions consécutives fournissent des limites qui se resserrent de plus en plus autour de la même racine, il est possible que les transformées n'acquièrent jamais la forme dont il s'agit, par la raison que, les deux limites se resserrant à la fois, la racine positive peut aller en augmentant au lieu de diminuer. Mais, lorsqu'on sera parvenu à des fractions entre lesquelles il n'y aura qu'une seule racine réelle et aucune des parties réelles des racines imaginaires, il suffira de diminuer toutes les racines de la transformée correspondante d'une même quantité qu'on pourra trouver par quelques essais, comme on l'a vu plus haut.

Lorsqu'une équation est réduite à la forme dont nous parlons, c'està-dire que tous ses termes ont le même signe, à l'exception du dernier terme tout connu, on fera passer ce dernier terme dans le second membre, et l'on pourra en extraire la racine à peu près comme dans les équations à deux termes où il n'y a qu'une seule puissance de l'inconnue; seulement on aura besoin de plus d'essais et d'épreuves, à raison des différentes puissances de l'inconnue qu'elle contiendra.

Ainsi, par exemple, si Ton a l'équation du troisième degré

y* -h A/ 2 -h By — N = o,

dans laquelle A, B, N sont supposés des nombres positifs, en la mettant

sous la forme

j*-t-À/»-hBj-=N,

on voit que, au lieu d'extraire simplement du nombre N la racine de la puissance v\ il s'agit d'en extraire celle de la somme des puissances v* -h ky* •+■ B/; et, si a est la partie de cette racine déjà trouvée et p le reste, on aura'

\ 3«* + îArt + B)p -f- (3a -h A)/> 2 -h p* = N — a* — A« a - Bc,

et par conséquent

N— «(a^-h Aa-H B)

/>< 3a*-+-?Aa + B ' formule qui répond à celle-ci

sur laquelle est fondé le procédé de l'extraction de la racine cubique. Prenons l'équation trouvée plus haut

la formule sera ici

^fl(a 2 -+-4fl-+-3)

p< 3a 2 4- Sa \+ 3 '

11 est d'abord facile de voir que le premier chiffre de la valeur de a nepeutétrcqueo,2; faisant donca — 0,2, on trouvera p< -j—^- <o,o5. En prenant p = 0,04, la nouvelle valeur de a sera 0,24 , et l'on trouvera