Représentons l'équation proposée par la formule générale

et désignons ses m racines par x\ x" f x m x {,n) ; on aura, par les

propriétés connues des équations,

v« — — JC Uv *Kf | • • ■ •

Soit / l'inconnue de l'équation résolvante; nous ferons, d'après ce que nous venons de dire,

/ = jr'-f- «/+ a*x M -h a 9 x" -h ... -h a m ~ % x^ m \

la quantité a étant une des racines rri ème * de l'unité, c'est-k-dire une des racines de l'équation à deux termes y m — i = o.

Pour avoir l'équation en /, il faudra éliminer les m inconnues x\ x", x\ ... au moyen des équations précédentes, qui sont aussi au nombre de m; mais ce procédé exigerait de longs calculs, et aurait, de plus, 1 inconvénient de conduire à une équation finale d'un degré plus haut qu'elle ne devrait être.

3. On peut parvenir directement et de la manière la plus simple à l'équation dont il s'agit, en employant la méthode dont nous avons fait un fréquent usage jusqu'ici, laquelle consiste à trouver d'abord la forme de toutes les racines de l'équation cherchée, et à composer ensuite cette équation par le moyen de ses racines.

Il est d'abord clair que, dans l'expression de t, on peut échanger entre elles à volonté les racines x\ x" 9 . . . , puisque rien ne les distingue jusqu'ici l'une de l'autre; d'où il suit qu'on aura toutes les différentes valeurs de t en faisant toutes les permutations possibles entre les racines a?', a/', x m % ..., et ces valeurs seront nécessairement les racines de la réduite en ; qu'il s'agit de construire.

Or on sait, par la théorie des combinaisons, que le nombre des permutations qui peuvent avoir lieu entre m choses est exprimé en général par le produit 1.2. 3... /h; donc l'équation en ; aura en général autant de racines qu'il y a d'unités dans ce nombre, et sera par conséquent d'un degré exprimé par le nombre 1.2. 3... m; mais nous allons voir que cette équation est susceptible d'abaissement par la forme même de ses racines.

Comme cette forme dépend de la quantité a qu'on suppose être une racine de l'équation y 1 — 1 = o, nous commencerons par quelques remarques sur les propriétés des racines de cette équation, et, pour cela, nous considérerons séparément les cas où l'exposant m est un nombre premier et celui où cet exposant est un nombre composé.

4. Supposons d'abord que le nombre m soit premier. Dans ce cas, toutes les puissances de a jusqu'à <x m auront des valeurs différentes, à moins que l'on n'ait « = 1; car, si deux puissances a" et a v étaient égales, on aurait a" = a v , et de là a"~ v = 1 ; or, aucune puissance de a moindre que m ne peut être = 1, tant que a n'est pas = 1. En effet, puisque a w — 1 = o, si l'on avait en même temps a" — 1 = o, n étant </w, il faudrait que ces deux équations eussent une racine commune; et, en cherchant par les règles ordinaires le plus grand commun diviseur des deux quantités % m — 1 et a" — 1 , on trouve nécessairement