VIU

% — i pour ce diviseur, à cause que m est un nombre premier, de sorte que la racine commune aux deux équations <x m — i = o et cl" — i = o ne peut être que l'unité.

5. Il s'ensuit de là : i°que les puissances a, a 2 , a 3 , ..., <x m représentent toutes les racines de l'équation y m — i = o, en prenant pour a une quelconque des racines de cette équation, autre que l'unité; car, puisque a m = i , on aura aussi a 2 "* = i , a ïm = i , . . . , de sorte que les puissances a, a 2 , a 8 , . . . , a w seront aussi des racines de la même équation, et» comme elles sont au nombre de m f et ont toutes des valeurs différentes, elles donneront nécessairement toutes les racines de l'équation y m — i = o.

6. Il s'ensuit aussi : 2° que, si dans la série des puissances a, a 2 , a 8 , ..., a" 1-1 on substitue pour a une quelconque de ces puissances, comme a", n étant < m, la nouvelle série a", a 2w , a 3 ", . . . , en rabaissant toutes les puissances au-dessous de a w , à cause de a w = i, contiendra encore les mêmes puissances, mais dans un ordre différent; car il est visible que tous les exposants n> aw, 3#i f ... sont différents et que leurs restes de la division par m le sont aussi, parce que m est un nombre premier; de sorte que ces restes, étant au nombre de m et tous différents entre eux, ne peuvent être que les nombres i, a, 3, ..., m.

7. Considérons maintenant le cas où m est un nombre composé. Dans ce cas, si n est un diviseur de m, toutes les racines de l'équation v w — i — o seront communes à l'équation y m — i = o, parce qu'en supposant le nombre r racine de l'équation y n — i = o on aura r"= i, et par conséquent aussi r m = r , de sorte que r sera aussi racine de l'équation y m — i = o. En faisant donc <x = r, on aura <x m = i f et, si m = np % il est visible que dans la série des puissances a, a 2 , a 3 , ..., a m chacune se trouvera répétée p fois; par conséquent, ces puissances ne pourront plus représenter toutes les racines de l'équation y m — i = o, parce que cette équation ne peut avoir de racines égales.

8. Soit m =pq 9 p et q étant deux nombres premiers, et soient p une des racines de l'équation y p — i = o et y une des racines de l'équation y q — i = o; il est clair que P et y seront aussi racines de l'équation j 1 " — 1 = 0, parce que, $ p et y* étant = i, on aura aussi p^=i, y w = i; mais toutes les racines de l'équation j OT — i = o ne pourront pas être représentées par les puissances successives de ces racines p et y.

On voit aussi que le produit Py sera racine de la même équation y m — i = o; mais aucune puissance de cette racine, dont l'exposant serait inférieur à m, ne pourra être égale à l'unité, à moins que p ou y ne soit = 1; car il faudrait que l'exposant de cette puissance fût un diviseur de m, et par conséquent égal à p ou à q; on aurait donc (Py)* = 1 ou (Py)* = 1. Dans le premier cas, on aurait y /, = 1, à cause de $ p = 1 (byp.), et, comme on a déjà -f — 1 = o (hyp.), il en résulterait y — 1 = o, à cause que petq sont premiers entre eux ; dans le second cas, on aurait p — 1 = o.

9. Ainsi, tant que p et y sont différents de l'unité, la racine Py de l'équation y" — 1 = a, lorsque m=pq, la même propriété que la racine a lorsque m est un nombre premier, savoir, que toutes les racines de cette équation peuvent être représentées par les puissances successives de py.

10. Comme les valeurs de p sont au nombre de p et celles de y au nombre de q, les valeurs de py seront au nombre de pq, c'est-à-dire de m, et il est facile de prouver que ces valeurs seront toutes différentes entre elles, parce qu'elles peuvent être représentées par p r y*, en faisant successivement r = 1 , q, 3, . . . , p et s = 1 , 2, 3, . . . , q, à cause que les nombres p et q sont supposés premiers; d'où il suit que toutes les racines de l'équation y m — 1 = o, m étant =pq 9 peuvent être représentées par les produits Py des racines des équations ^—1=0, y q — 1 = o, p et q étant des nombres premiers.

On prouvera de même que, si rh=pqr 9 en supposant p 9 q 9 r des nombres premiers, et que p, y, S soient respectivement des racines quelconques des trois équations y p — 1 = o, y* — 1 = o, y r — 1 = o, le

produit Py&, en donnant successivement à p, y, 8 toutes leurs valeurs, pourra représenter toutes les racines de l'équation y m — i = o, et que celles de ces racines qui seront exprimées par Py8, en excluant l'unité des valeurs de p, y, 8, auront les mêmes propriétés que les racines de l'équation y m — i = o, lorsque m est un nombre premier. Et ainsi de suite.

il . Mais, si Ton avait m =/> 2 » p étant un nombre premier, en prenant p pour une quelconque des racines de l'équation y* — i = o, il est clair que p serait aussi racine de l'équation y m — i = o, et que yP le serait aussi. On prendrait donc, dans ce cas, pour y une quelconque des valeurs de y(î, et l'on aurait également Py pour l'expression de toutes les racines de y m — i = o.

De même, si m=p % 9 en conservant les valeurs de p et y, on ferait de plus 8 = ^, et l'on aurait Py$ pour l'expression de toutes les racines de y m — i = o, en donnant successivement à p, y, 8 toutes leurs valeurs. Et ainsi de suite.

12. Donc, en général, si m = p^q*r m ... 9 et que p, y, X, ... soient respectivement des racines quelconques des équations

jrP — i = o 9 yi—i = o 9 y*— i = o, ...,

p 9 q,r 9 ... étant des nombres premiers; si l'on fait de plus

P' = Cp f (3"=^, ..., y' = Vy 9 r=W> «.. *'=fà r=--VT' 9 ....

on aura

(3p'(3"...xyyy...X<î<$'ô"...

pour l'expression générale des racines de l'équation y m — i = o, en donnant successivement à p, p\ ..., y, y\ ...» 8» &', ... toutes les valeurs dont ces quantités sont susceptibles chacune en particulier.

On voit par là que, pour avoir les racines de l'équation à deux termes y m — i =o, lorsque m n'est pas un nombre pretaier, il suffit de résoudre des équations semblables des degrés dont les exposants soient les nombres premiers qui composent le nombre m.

13. Enfin nous remarquerons que, comme l'équation y m — i = o manque de tous les termes intermédiaires, si Ton nomme i , «, fï, y, . . . ses racines, on aura, par les formules générales données au commencement de la Note VI,

ensuite, à cause de a ro = i , $ m = i , . . . , on aura

i -4- x m H- |3 m H- y m ~|- . . . = m, i -h a m " M -h (î TO4 - 1 H- y w+l -+-...= o, i -h a m +* -+- (3 m +* -+• y m + 2 h- . . . = o,

et ainsi de suite.

Ces différentes remarques nous seront fort utiles dans la suite.