Ces préliminaires posés, considérons la fonction

t = x 1 -f- ax" -h x*x" -f- a* x" -+- a 1 * T -h . . . -+- a w "« x< m, f

dans laquelle a?', x'\ x m % . . . , a? C/w) sont les racines de l'équation proposée du degré m, et a est une racine quelconque de l'équation y m — t = o, de manière que l'on ait a m = i .

On voit d'abord que cette expression est une fonction invariable des quantités a a/, <xx\ a 2 a?*, ..., et qu'ainsi le résultat des permutations des racines a/ f x'\ x m $ . . . entre elles sera le même que celui des puissances de a entre elles.

15. Il s'ensuit de là que a/ sera le résultat des permutations simultanées de x' en x'\ x" en x m 9 . . . , x {m) en x', à cause de a" 1 = i . De même, a 2 / sera le résultat des permutations simultanées de x en x"\ x" en a? ,v , . . . , aP*- %) en x' et x {m) en x" 9 à cause de <x m = i , a WM = a, et ainsi de suite.

Donc, ; étant une des racines de l'équation résolvante en ;, a/, a 2 /, a 3 /, . . ., cl" 1 K i seront aussi des racines de la même équation; par conséquent, l'équation en ; devra être telle qu'elle ne change pas en y changeant t en a/, en a 2 *, en a 3 /,..., en a m-1 /, d'où il est facile de conclure d'abord que cette équation ne pourra contenir que des puissances de / dont les exposants soient multiples de m.

Si donc on fait t m = 8, on aura une équation en 8 qui ne sera que du degré i . 2 . 3 . . . [m — 1] et dont les racines seront les différentes valeurs de 8 résultant des permutations des m — 1 racines x" % x m , . . . , x m entre elles.

16. L'expression de 6 sera, à cause de oi m — 1, a 2m = 1, ..., de la forme

dans laquelle les quantités £°, £', £", ... seront des fonctions déterminées de x\ x" % x'\ . . . , lesquelles auront en général la propriété d'être invariables par les permutations simultanées de x' en ot", x" en af, . . ., x {m) en x\ de x' en x m , x" en a? ,v , . . . , x {m ~ x) en a?', a?^ en x", et ainsi de suite, ce qui suit de ce que 8 est également = t* = (&t) m = (%*t) m 9 .... Lorsque les quantités £°, S', £", ... seront connues, on aura tout de suite les valeurs de toutes les racines x\ x" 9 x m , ... de la proposée; car, puisque 8 = /"*, on aura / = y8, et, si l'on dénote par 1 , a, (3, y» • • • les racines de l'équation y m — 1=0, et qu'on dénote aussi par 8°, 8', 8", ... les valeurs de 8 qui répondent à la substitution successive de 1 , a, p f y, ... à la place de a dans l'expression de 8, on aura, à cause de

/ = jt' 4- a x" 4- «a *• 4- ... 4- a »-i ar (m) f

les équations suivantes

tf'4- *"-4- x'"4-...4- xC*)=z'V6;

*' 4- a.r" 4- a* ** 4- . . . 4- a WH * (m) = W, *' 4- (3*" 4- p 2 x w 4- . . . 4- p»-ix<">= W,

DES ÉQUATIONS ALGEBRIQUES. 303

Ces équations, étant ajoutées ensemble, donneront d'abord, par les propriétés des racines i, a, {ï, y, . . . (n° 13),

Ensuite, si on les multiplie respectivement par i, a" 1-1 , P" 1 " 1 , Y" 1 , . . ., et qu'on les ajoute de nouveau ensemble, on aura, par les mêmes propriétés,

On trouverait de la même manière

et ainsi de suite.

17. Nous remarquerons sur ces formules que le terme y 6°, étant égal à la somme x' -\- x" -\-x m -h... des racines, est donné immédiatement par l'équation, de sorte qu'on a y'ft° = A (n° 2), équation nécessairement identique, et qui pourrait servir, s'il en était besoin, à s'assurer de la bonté du calcul.

Il s'ensuit de là aussi que, comme 6° = 1° -+- £'-h £"-+- . . ., en faisant a = i , on aura

et par conséquent

valeur qui, étant substituée dans l'expression générale de 0, la réduira à cette forme plus simple

et l'on aura les valeurs de 8', 6", 8 W , ... en mettant les racines a, [i, y, ... de l'équation

à la place de <x(n° 16).

18. La difficulté se réduit donc à trouver les valeurs des quantités l\ S", ç w , . . . qui entrent dans l'expression de 8, lorsqu'elles ne sont pas données immédiatement. Dans cette recherche, il convient de distinguer le cas où l'exposant m est un nombre premier de ceux où m est un nombre composé.

Supposons d'abord que m soit un nombre premier; nous avons démontré ci-dessus (n° 6) qu'alors, en prenant pour a une racine quelconque de l'équation y m — r = o, autre que l'unité, si dans la série des puissances a, a 2 , a\ ..., a"'-' on substitue à la place de a une quelconque de ces mêmes puissances, on retrouvera toujours la même série de puissances, seulement dans un ordre différent. Or il est visible que, dans la fonction i, le changement de a en a 2 répond aux substitutions simultanées de x" à x\ x w à x y 9 . . . , que le changement de a en a 8 répondra aux substitutions simultanées de x"k x ly 9 x m à x xl f ..., et ainsi de suite. Donc les changements successifs de a en a 2 , a 3 , ..., 0L m * répondront a autant de permutations où a?" prendra la place de ,r'\ x ly 9 . . . , x {m) 9 ce qui fait m — i permutations, dont chacune pourra ensuite être combinée avec toutes les permutations possibles entre les autres m — 2 racines x", x iy 9 . . . , x {m) .

11 en sera donc de même de la fonction 6, et, comme dans cetle fonction les changements de a en a 2 , a 3 , ... répondent à des substitutions de £' à S", à 5", . . . correspondantes à celles de af à x m 9 à x"\ . . . dans la fonction /, il est facile d'en conclure que les quantités S', £", ç'\ . . . seront les m — 1 racines d'une équation en Ç du degré m — 1 , dont les coefficients seront des fonctions de x\ x'\ x* 9 . . . qui ne seront susceptibles que d'autant de valeurs différentes qu'il y aura de permutations entre les m — a racines x m , a? y 9 ..., x {m) 9 c'està-dire de 1.2. 3. ..(ira— 2) valeurs, et dépendront par conséquent d'équations du degré 1.2. 3.. .(m — 2).

19. On peut même démontrer que tous ces coefficients ne dépendront que d'une seule équation de ce même degré, car,' si l'on représente par

l'équation en ; dont £', £", £", . . . sont les racines, en faisant dans les fonctions M, N, . .. les 1.2. 3... [m— 2) permutations entre les racines x m , x lv , ... 9 on aura autant de pareilles équations qui» étant multipliées ensemble, donneront une équation finale en £dudegréi.2.3...(/?i — 1), dans laquelle les coefficients seront des fonctions invariables des racines x\ x" 9 x m % ... et par conséquent déterminables par les coefficients À, B, C, ... de l'équation proposée.

L'équation

sera donc un diviseur de celle-ci; faisant la division à la manière ordinaire et égalant à zéro les jw — 1 termes du reste, on aura autant d'équations, dont les premières m — 2 donneront les valeurs de N, P, . . . en fonctions rationnelles de M. Ainsi il suffira de trouver l'équation en M du degré 1.2. 3... (m — 2).

Si donc cette équation pouvait se résoudre, et il suffirait d'en connaître une seule racine, on aurait les valeurs des coefficients de l'équation en £, qui est d'un degré moindre d'une unité que la proposée, et dont les m — 1 racines seraient les valeurs des quantités £', S", £", ... qui entrent dans l'expression de 0.

20. Mais, au lieu de chercher les racines!;', S", £*\ ..., il pourrait être plus simple de chercher directement 6', 8", 8 W , .... Il est clair que ces quantités seront les racines d'une équation en 8 du (m — i) ième degré, qu'on trouvera en éliminant a de l'expression de 8, au moyen de l'équation

OL m — I = 0,

après en avoir ôté la racine 1, c'est-à-dire de l'équation

Cette équation en 8 sera ainsi débarrassée de la racine a, et ses coefficients exprimés par les quantités £°, £', £\ . . . , étant considérés comme fonctions des racines x\ x'\ x w , . . . , ne seront susceptibles que de 1.2. 3... (m --2) variations par toutes les permutations possibles entre VIII. 39

ces racines; car, comme les changements de place de a?" répondent aux substitutions de a 2 , a 3 , ... au lieu de a, et que la quantité a a disparu de l'équation en 8, il s'ensuit que, dans l'expression de ses coefficients, on pourra regarderai comme fixe, ainsi que x' .

Sans employer la voie de l'élimination, on pourra parvenir directement à cette équation en 8 au moyen de ses racines 0', 8", 8", . . . , dont l'expression est connue; car, en représentant cette équation par

Qm- I JQm-1 + \J Qm-9 . . . — q,

on aura, par les formules connues,

U = 9'G +6'(ir+9"6

21. On pourra faciliter beaucoup la détermination de ces coefficients en les déduisant des sommes des puissances successives des racines 8', 8", . . . jusqu'à la m ièm€ puissance. En effet, si l'on élève successivement le polynôme

aux puissances 2 ièm€ , 3 ième , ..., et qu'on dénote par £ 2 , £ 3 , £ 4 , ... les termes de ces puissances qui ne seront point affectés de la quantité a, après avoir substitué partout i pour <x m , a pour a" 14 " 1 , et ainsi des autres; que, de plus, on fasse pour l'uniformité

en sorte que les quantités 8°, 8', 8", ... répondent aux racines i, a, p, . . . , il est facile de voir qu'on aura, par les propriétés de ces racines exposées plus haut, ml\ ml 2 , m; 3 , ... pour les sommes des puissances i ièrc , 2 ième , 3 ièrae , ... des quantités 8°, 8', 8", ....

Or 8° = A™ (n° 17); donc, si l'on retranche respectivement des quantités ml , ml 29 m*,, ... les puissances de A"\ les restes mÇ° — À m , m\ 2 — A 2 "\ m\ % — A 3 " 1 , . . . sont les sommes des m — i racines 8', 8",

6", ... de leurs carrés, de leurs cubes, etc., d'où l'on tirera les sommes de leurs produits deux à deux, trois à trois, etc., par les formules données dans le Chapitre I (n°8), ainsi qu'il suit :

Il = : y

22. Maintenant, si l'on fait dans les expressions des coefficients T, U, V, ... en x\ x", x m 9 ... toutes les permutations possibles entre ces racines x\ x'\ . . . , on ne trouvera pour chacun de ces coefficients que i . 2 . 3 . . .{m — 2) permutations, provenant uniquement des permutations entre les m — 2 racines x" % x m , ....

Ainsi, on aura pour la détermination de T une équation de ce même degré, qu'on pourra former par le moyen de ses racines; ensuite on trouvera les valeurs des autres coefficients U, V, . . . en fonctions rationnelles de T par la méthode donnée plus haut, relativement aux coefficients de l'équation en l (n° 19).

Le problème se trouvera donc réduit à la résolution de l'équation enTdu degré 1.2. 3... (01 — 2), laquelle sera toujours d'un degré plus haut que la proposée lorsque m sera au-dessus de 3. Il est possible que cette équation puisse être abaissée à un degré moindre, mais c'est de quoi il me parait très-difficile, sinon impossible, de juger a priori.

23. À l'égard des racines a, p, y, . . . , comme elles sont avec l'unité les racines de l'équation

si l'on divise cette équation par y — 1 pour en éliminer la racine f , on aura l'équation du degré m — i

dont a, (i, y, ... seront les m — 1 racines.

Cette équation est d'abord, comme Ton voit, d'un degré moindre d'une unité que l'équation proposée; mais, étant d'une forme convertible, elle peut toujours s'abaisser à un degré moindre de la moitié; de plus, par la belle découverte de M. Gauss, on peut la résoudre à l'aide d'autant d'équations qu'il y a de facteurs premiers dans 172 — 1, et qui ne montent qu'aux degrés marqués par ces facteurs. On peut même la résoudre directement sans passer par aucune équation intermédiaire, comme on le verra dans la Note suivante.

24. Nous avons supposé (n° 18) que l'exposant m du degré de l'équation est un nombre premier; considérons maintenant le cas où cet exposant est un nombre composé. Dans ce cas, nous avons vu que les racines de l'équation y* — 1 = o sont de deux espèces : les unes sont communes à l'équation y*— 1 = o, n étant un diviseur de m, et leurs puissances ne peuvent pas représenter toutes les racines de l'équation primitive, parce qu'elles n'ont de valeurs différentes que jusqu'aux puissances n, après quoi les mêmes valeurs reviennent toujours dans le même ordre; les autres n'appartiennent qu'à l'équation y m — 1 = o et jouissent des mêmes propriétés que les racines de cette équation lorsque m est un nombre premier. Ainsi, il faudrait d'abord borner le raisonnement du n° 18 aux seules racines a, qui sont propres à l'équation y m — 1 = o, et modifier en conséquence les conclusions que nous en avons déduites relativement à l'équation en Ç. De plus, en n'employant même que ces racines pour a, on ne peut pas dire que la substitution d'une puissance quelconque de a à la place de a dans la série a, a 2 , a\ . . . , a'""' redonne toujours les mêmes termes, parce que, si m = np 9 la substitution de a" pour a ne donnera jamais que les puissances a", a 2/ \ ..., ol" p , à cause de cl' ip = i. Il résulte de là que les quantités S', ;", \°\ ... ne pourront plus être les racines d'une même équation, mais devront dépendre d'équations différentes qu'il faudrait chercher séparément, ce qui allongerait le calcul.

Mais, en employant les racines communes à l'équation y m — 1 =0, la méthode générale se simplifie et la résolution du degré m se réduit

à celle d'autant d'équations des degrés inférieurs n que l'exposant m a de facteurs premiers; c'est ce que nous allons développer.

25. Supposons donc que l'équation m ait un diviseur n; nous avons vu (n°7) que toutes les racines de l'équation y n — i = o sont communes à l'équation y m — i = o; ainsi, dans la fonction

/ = x' 4- «/ -+- a 2 Jt"4- ... -4- a m - f x( m \

nous pourrons prendre pour a une des racines de l'équation y n — r = o. On aura alors

jusqu'à x m = i, et l'expression de / se réduira à cette forme plus simple en faisant, pour abréger,

X' = x' +jr(« + -0 + j r (2fl+«) + ,,, + j(»-'n-i) > X" —a" H-x(''+3> + x( 2 "^> + ...-h;ri'»-' | - , - 3 \

Regardant maintenant les quantités X', X", X", ..., X ( " } comme les racines d'une équation du degré n, il est clair qu'on pourra appliquer à la fonction / les mêmes raisonnements qu'on a faits dans les n° 9 15 et 16, et qu'on parviendra à des conclusions semblables.

Ainsi, en faisant /" = 8, on aura, à cause de % n = i, une expression de 8 de la forme

dans laquelle les quantités S , £', S", ... seront des fonctions connues de X', X",.X W , . . . , lesquelles auront la propriété d'être invariables par les échanges simultanés de X' en X", X" en X", ... , X (,i) en X'.

Connaissant ces quantités, on aura immédiatement les valeurs des racines X', X", X"\ ... par des formules semblables à celles du n° 16.

Ainsi, en prenant 1 9 a, p, . . . pour les racines de l'équation j" — i = o, et supposant que ô°, 6', 6", . . . soient les valeurs de 6 qui répondent à a = i , a, p 9 y 9 . . . 9 on aura

x „^ Tfl» -+- «?-*W -+- p— «T'y

où l'on remarquera que le terme y 6° est toujours égal à la somme des racines, qui est ici

On n'aura encore par là que les racines X', X", X", ...; pour avoir les racines primitives x\ otf, x m , . . . , il n'y aura qu'à regarder séparément celles qui composent chacune des quantités X', X", X* 9 . . . comme les racines d'une équation du degré égal au nombre de ces racines et y appliquer la même méthode.

26. Lorsque n est un nombre premier, ce qu'on peut toujours supposer en prenant pour n un des facteurs premiers du nombre m, les quantités £', £", £'\ . . . seront, comme dans le n° 18, les racines d'une équation du degré n — i, dont les coefficients dépendront d'une équation du degré i.a.3...(/i — 2). Cette dernière équation aura pour coefficients des fonctions rationnelles de ceux de l'équation en X dont X', X", X"\ . . . sont les racines. Or ceux-ci ne sont pas connus; il n'y a que ceux de l'équation donnée dont x\ x'\ x m 9 . . . sont les racines qui le soient; il s'agit donc de voir comment ceux-là pourront dépendre de ceux-ci.

II est clair que, en substituant pour X', X", X", ... leurs valeurs en x\ x\ x n \ . . ., les coefficients dont il s'agit deviendront des fonctions connues des racines x\ x'\ x m 9 . . ., et, pour trouver les équations d'où ces fonctions dépendront, la difficulté se réduira à chercher de combien de valeurs différentes ces fonctions seront susceptibles par toutes les permutations possibles entre les racines x\ of % x m f . . . , x {m K

27. Le nombre total des permutations entre ces m racines est en général 1.2. 3... m; mais, s'il y a des permutations qui ne produisent aucun changement dans les fonctions dont il s'agit, il faudra diviser par le nombre de ces permutations le nombre total des permutations, parce que chaque permutation se combinant avec toutes les autres ne s'ajoute pas aux autres, mais les multiplie.

Or les racines x\ x {n4rK \ . .., x {m - R * x) qui entrent dans l'expression de X', et qui sont au nombre de/?, à cause de m = np, sont susceptibles de i. 2. 3... p permutations; mais, comme elles entrent dans X' sous une forme invariable, leurs permutations ne produisent aucun changement dans la valeur de X'; par conséquent, on aura d'abord le diviseur 1.2.3.../?.

L'expression de X", étant dans le même cas, donnera de nouveau le diviseur i . 2 . 3 .. ./?, de sorte qu'on aura le diviseur (i.2.3.../>) 2 , à raison des deux fonctions X' et X"; par la même raison, les trois fonctions X', X", X" donneront le diviseur (1.2.3.../?)*, et les n fonctions X', X", X", . . . , X {/,) donneront par conséquent le diviseur ( i . 2 . 3 . . ./>)".

Enfin les n quantités X', X", X'\ . . . sont susceptibles en elles-mêmes de 1.2. 3.../* permutations, et, comme les coefficients de l'équation en X sont des fonctions invariables de ces quantités, il en résultera encore le nouveau diviseur 1 . 2 . 3 . . . n.

D'où l'on peut conclure que les coefficients de cette équation, regardés comme des fonctions des m racines x\ xf\ x m 9 ..*, ne seront susceptibles que de

valeurs différentes, et ne dépendront par conséquent que d'une équation de ce degré.

Ainsi, les coefficients de l'équation du degré i.a.3...(n — a), qui sont des fonctions rationnelles de ceux de l'équation en X, dépendront * d'une équation de ce degré, *

Donc, en donnant à ces coefficients toutes les valeurs qui répondent aux racines de cette dernière équation, et multipliant ensemble toutes les équations résultantes, on aura enfin une équation du degré

■ -Xi.î.3... »-a, savoir 7 : — -. 5 r^;

ce sera l'équation d'où dépendront les coefficients de l'équation en l du degré n — 1, dont les racines seront les valeurs de £', £", £", .... Ainsi, on peut dire que c'est à une équation de ce degré que la résolution de l'équation proposée se réduira en dernière analyse.

28. Pour achever la résolution de l'équation proposée en x, il faudra encore tirer les valeurs de ses racines x\ x'\ x" 9 . . . , x {m) de celles des racines X', X", X", ... (n°25). Pour cela, on regardera \es p racines x\ x {n + {) , . . . qui composent la valeur de X' comme étant les racines d'une équation du /> ième degré et qui sera de cette forme

XP — X'xP-i -+- l XP~* — \LXP~* -4- y xP~* — . . . = o,

dans laquelle les coefficients X, p, v, ... seront inconnus; mais, comme cette équation est censée renfermer/? des m racines de l'équation proposée

x m — A*™' 1 -+• hx'*-* — Cx m ~* 4- . . . = o,

où m = np, elle devra être un diviseur de celle-ci; par conséquent, il n'y aura qu'à faire la division ordinaire, en supposant nuls les termes affectés de x p ~\ x p ~ 2 , . . . dans le reste. On aura, par ce moyen, p équations en X', X, (x, . . . , dont les p — 1 premières donneront les valeurs de X, (x, ... en X' par des équations linéaires. Ainsi, X' étant connu, on aura aussi X, (/., ... , et il ne s'agira plus que de résoudre cette

équation du degré p. De même, en substituant la valeur de X à la place de celle de X\ on aura l'équation qui donnera les racines x'\

29. On voit par là que cette dernière méthode revient à décomposer l'équation du degré m = np en n équations du degré p; mais, si pour cette décomposition on suivait la méthode ordinaire, il faudrait résoudre une équation du degré

comme nous Pavons vu dans la Note X, au lieu que celle-ci ne demande que la résolution du degré

i.i.3. . .m [n — i)fl(' ."a. 3. . .p) n

qui est toujours moindre que le précédent.

Soit /n = 4» n = 2 9 p = a; ces degrés seront