Soit maintenant l'équation générale du troisième degré

a 3 — Aa 2 -+-Bx — C = o,

dont les racines soient x\ x"> x\

On a ici m= 3 nombre premier; la fonction / sera donc, en prenant pour a une racine de j 8 — 1 = o,

et la fonction = / 3 sera, à cause de a 3 = 1, où Ton aura

£« = x'* -+- x"* -h x M * -h 6x'x"x m 9 X = 3 (*'*** -+- x"*x m -hx m *x'),

Les quantités £', Ç" seront donc les racines d'une équation du second degré, dont les coefficients dépendront d'une équation du degré i . 2 . . . (m — 2), c'est-à-dire du premier degré, et qui seront par conséquent des fonctions rationnelles de ceux de l'équation proposée. En effet on voit que, par toutes les permutations possibles entre les trois racines x\ af, x m , les deux fonctions £', £" restent les mêmes ou se changent l'une dans l'autre, de sorte qu'en les supposant racines de l'équation

on aura M = Ç' -+- £", N = S' S", fonctions invariables de x\ x'\ x m y et par

conséquent déterminables par les coefficients A, B, C de la proposée.

En effet on trouve facilement, par les formules de la Note X (n°4),

M = ^-+-r = 3AB~ 9 C,

N = £'$"= 9B» + 9( A» - 6AB)C -h 81 (X

Ainsi l'on n'aura à résoudre que l'équation du second degré

£*-(3AB-9C)£ + 9B' + 9(A»-6AB)C-h8iC* = o,

dont on prendra les deux racines pour les valeurs de ;' et £". Faisant ensuite (n° 17)

fl' = A»+(«-i)$'-4-(«»-i)Ç J \ fi"=A» + (p-i)5'-h(P»-i)Ê*.

et substituant, dans les formules du n° 16, 3 au lieu de m et A au lieu de y6° (n° 17), on aura

, h + W+VF \ I . k + W+VF

„ A + aî^+^v^ [ ] m k + QvV + xfà x"= - 6 — r t / ou bien < x"= £- — ^ ï — >

m h + oLW+$W' \ \ „ k-t-*W'+$W

à cause de p = a 2 , et par conséquent (i 2 = a.

Et les deux quantités a, p seront (n° 23) les racines de l'équation

laquelle donne

, + j/zrS ft — i — y^— 3

32. Mais on peut avoir des expressions plus simples par le moyen de l'équation en 6 qui sera ainsi du second degré. En représentant cette équation par

on trouvera les valeurs de T et U par les formules données plus haut

On aura ainsi

où l 2 est le premier terme dégagé de a dans le développement de (^+^'+^$7, et l'on trouve, à cause de a 3 = i,

Or on a (n° 17)

donc, puisque ?;'!;"= N, on aura

T = *Aî-3M,

et, substituant les valeurs de M et N trouvées ci-dessus, on aura

T = 2A 1 — 9AB-ha7C,

L'équation en 8 sera donc

S*— (2 A 3 — 9ABh-*7C)0-4-(A*-3B)» = o,

dont, les deux racines étant prises pour 8' et 6", et substituées dans les expressions précédentes de x\ x\ x m , . . . , on aura la résolution la plus simple de l'équation du troisième degré.

33. Venons à l'équation du quatrième degré représentée par la formule

x* — Aj j + Bot 2 — Cx + D = o.

Comme on a ici 4 = a. a, il est plus simple de suivre la méthode du n° 25; en faisant n = a, on prendra pour a une racine de l'équation

en sorte que a* = i . On fera ainsi

/ = X'-4-aX", X'=x> + x* 9 X" = x"+x".

De là, on aura

= Z* + aÇ 9 et £o=X'*-f-X"*, £'=aX'X\

Ainsi Téquation en Ç, dont £' est racine, ne sera que du degré n — i , c'est-à-dire du premier degré, et ses coefficients ne dépendront que

d'une équation du degré '**" ' = 3 (n°27), de sorte qu'on aura en Ç'

une équation du troisième degré, telle que Les racines de cette équation seront les valeurs de

qui proviendront des permutations entre les trois racines, et il est facile de voir en effet que ces valeurs ne seront que les trois suivantes :

îj^ + Z )(**-+- AT 1 *),

i(x'-hx lt )(x m -hx m ).

D'après ces racines, on pourra former les coefficients M, N, qui se

trouveront exprimés par des fonctions invariables de x\ af, x m % x lw 9 et seront déterminables en A, B, C, D.

34. Pour faciliter cette recherche, nous remarquerons que Ton a 9 par l'équation proposée,

B = x'x" + x'x m -h x'x lT -h x"x m -hx"u ,¥ -f- x m x" = (*'-+- a" )(x" + x ir )-hx'x m +i^ ,T

= [x' + X* )[z m -\-X") +X'x" +X m X" = [x'-\- X")(x" + *" ) + X?X"->rX"x m >

d'où il suit que, si Ton fait Z'= 2B — 2u 9 l'équation en S' se transformera en une équation en u dont les racines seront

Soit

K»— Rk 2 -+-Sk— T==o

cette équation en u; on aura

R = xx m -4- x"x" -+- afx" -4- x m x tr -4- x'x" -+- x"x* = B,

et Ton trouvera de la même manière, en employant les formules données dans la Note X, les valeurs suivantes :

S = ÀC-4D, T=(À*-4B)D-+-C*.

Désignons par u' une quelconque des racines de l'équation en u

n'-Bn 2 4-(AC — 4D)w — (A*-4B)D — C*=o;

on aura £' == 2B — iu\ et de là, en faisant a = — 1 et n = 2, on aura

0'=r A*-!li;'=À»— 4B + 4l«' f

et enfin

35. Maintenant, comme X' = a;' + a?"\ on peut regarder a;' et a?" comme les deux racines de l'équation du second degré (n° 28)

X 2 — X'jF -t- X = O,

et, pour avoir X, il n'y aura qu'à diviser l'équation proposée du quatrième degré par celle-ci; le premier terme du reste, égalé à zéro,

donnera

X'i-AX'M-BX'-fi

x = ÏK=a

Ainsi, en résolvant l'équation du second degré, on aura

et, comme X" = x" -+- a; ,v , on aura les racines a?", x lY , en changeant dans ces expressions X' en X", ce qui ne demande que de changer le signe du radical y/iï.

Cette solution revient à celle de Descartes, dans laquelle on résout l'équation du quatrième degré en deux du deuxième, moyennant une du troisième.

36. On peut simplifier ces formules en substituant d'abord 7 — —

à la place de w, ce qui donnera cette équation en

03 (3A*— 8B)ô 2 H-(3A*-i6A a B-+-i6B 2 -hi6AC-64D)0-(A 3 -4AB-h8C) 2 =o,

dont 6' sera une quelconque des racines à volonté; mais, en employant les trois racines, on peut avoir tout d'un coup les quatre racines x\

Car, en faisant a = — 1 , on a

/ = x' -+- a? — oc?— x l \

et, par conséquent,

Cette expression de 8 n'est en effet susceptible que de ces trois valeurs différentes

(*'-+- x*— x — *•')*, [x' -+- x" — x m — x ir )*, [x' -h * IV — .r" — -r'") 2 ,

qui seront, par conséquent, les trois racines de l'équation en 0.

Nommons 6', 6", V les trois racines de cette équation; on aura donc ces trois équations

x -+- x m — x" — x lY = v'ô 7 »

x'-\-3? — x m — x"=ffi 9 *'-+-x ,r — x" — x* = V^»

qui, étant jointes à l'équation

x' -+- oc? -+- a" -+- #'*= A,

laquelle répond à a=i, serviront à déterminer chacune des quatre racines x\ x'\ x m , a? ,v , et l'on trouvera

A + y^-y^-yfr 5

jr ,

37. Cette solution, la plus simple de toutes, est due à Eulcr; mais elle présente une espèce d'ambiguïté, à cause des radicaux carrés qui peuvent être pris chacun en plus et en moins. En effet on voit que, en changeant le signe d'un quelconque de ces radicaux ou les signes des trois radicaux à la fois, on a un autre système de racines, représenté par les formules

jlT ^ A + y-F-l-y^-y-p

Au contraire, en ne changeant à la fois que les signes de deux des radicaux, on a toujours le même système de racines. Ainsi, pour savoir lequel des deux systèmes il faut employer, il n'y a qu'à déterminer le

signe que doit avoir le produit y/¥y/¥'\¥\ Or l'équation en donne

donc, extrayant la racine carrée,

v6 7 vï 7, V'^ = ±(A 8 ~4AB + 8C) f

et, remettant pour \V 9 y^", y/¥ leurs valeurs en x\ x'\ . . . f

(x f ^ x m ^ x ft - x^)[x ^ x v - x m ^ x^)[x f ^ x^ - x ff - x m ) =±[\^ - ^\U ^8C).

Pour déterminer le signe ambigu, il n'y a qu'à considérer un cas particulier, par exemple, celui où les trois racines x'\ x\ x xv sont nulles. Dans ce cas, on aura A = x\ B = o, C = o, D -=- o, et l'équation précédente deviendra

par où l'on voit qu'il faut prendre le signe supérieur pour la rendre identique. Ainsi on aura nécessairement

sjW s V\ifj m ^ A 3 - 4 AB -h 8C,

d'où l'on doit conclure que, lorsque la quantité

aura une valeur positive, il faudra employer le premier système des racines, et que, lorsque cette quantité aura une valeur négative, il faudra employer le second système, en donnant toujours aux radicaux yÔ 7 , yÔ 7 '» W une valeur positive (*).

(*) La règle donnée dans cet article, pour savoir lequel des deux systèmes d* équations on doit choisir dans chaque cas, n'est pas assez générale.

M. Bret, professeur do Mathématiques au Lycée de Grenoble, a trouvé un exemple o!i clh

est en défaut.

Soit l'équation

Mil. 4i

38. Passé le quatrième degré, la méthode, quoique applicable en général, ne conduit plus qu'à des équations résolvantes de degrés supérieurs à celui de la proposée.

Pour le cinquième degré, soit la formule générale

x* — Ax» -+- Bx» — Cr 2 +Dx-E = o,

dont les racines soient x\ x", x", ^ v , x v .

On aura ici m = 5 nombre premier, et Ton fera

où x est une des racines de l'équation

autre que l'unité. On fera ensuite = /\ et l'on parviendra à une équation en du

la transformée on est

dont les racines sont — 16, — 16, 16, ce qui donne

La fonction A* — 4 AB -h 8C est > o, parco que A = o, C = 8; ainsi il faudrait prendre le premier système. On aurait d'abord

qui ne satisfait pas. En effet,

(i + aV r -0 l = -3-*-4\ / -i, ( — 3 -+- 4 1/ - 0* == — 7 —

ainsi l'équation serait

- 7 — 2{y/^~i-G +-8v/~i - 8 — iGy'™ -h 5 = — 16 - Sa/ 17 "»,

ce qui n'est pas zéro.

Le deuxième système donnerait

x' = — 1 — 2 y '— 1 ; donc

Mais je remarque que l'analyse donne simplement la condition

yA/ y/1? yA7' = A» - 4 AB -h 8C; d'où il suit que le produit des trois radicaux y9, yfP, y/O^doit être égal et par conséquent

degré 1.2.3.4» niais qui sera décomposable en 2.3 équations chacune du quatrième degré, de manière que, en représentant chacune de ces équations par la formule

0»-T0»+Ufl*-Xe + Y=o f

les coefficients T, U, ... ne seront susceptibles chacun que de six valeurs différentes par toutes les permutations possibles entre les cinq racines x\ x", x m 9 ^ v , x r f dont ces coefficients sont fonctions, et ces six valeurs ne dépendront par conséquent que d'une équation du sixième degré; de sorte qu'en dernière analyse la résolution de l'équation du cinquième degré serait réduite à celle d'une équation du sixième. U est donc inutile d'entreprendre ce calcul, dont on peut au reste voir le commencement dans les Mémoires de l'Académie de Berlin (année 1771, p. i3o et suiv.) (*).

39. Nous n'avons considéré jusqu'ici que des fonctions résolvantes de la forme x' -+- glx" '-h *?x m -h ... ; mais les principes que nous avons

de même signe que la quantité A* — 4 AB -+- 8C. Donc, si en prenant les trois radicaux positivement leur produit? est de môme signe que cette quantité, ce sera le premier système qui aura lieu ; mais, s'il est de signe contraire, alors il faudra donner le signe — à l'un des trois radicaux, ce qui donnera le second système. Dans l'exemple dont il s'agit, on a

v /ô'v / ^^=4.4v /=:r «.4v /::r « = -64, tandis que

Ainsi c'est le second système qui a lieu.

La méprise vient de ce qu'on a supposé que le produit des trois radicaux, pris positivement, serait toujours positif.

Au reste, on peut ôter toute ambiguïté en prenant dans le premier système

rz A»— 4AB-4-8C

Dans l'exemple proposé, pour lequel

ayant fait |/&'=4, ^* = 4/ = l, on aura v^ = — W"» a ^ orâ I e premier système donnera

véritables racines.

(*) Œuvres fie Ltigrangc, t. III, p. 20 5.

employés pour trouver directement l'équation dont ces fonctions seraient les racines peuvent s'appliquer à toute autre fonction des racines x\ x" 9 x m , ... de l'équation proposée. Il ne s'agit que de cher^ cher toutes les différentes formes dont la fonction proposée est susceptible par toutes les permutations des racines x\ x'\ x" 9 . . . entre elles, et former une équation qui ait toutes ces différentes formes pour racines. Les coefficients de cette équation, étant des fonctions invariables de ses racines, seront aussi des fonctions invariables des racines de la proposée et pourront, par conséquent, se déterminer par des fonctions rationnelles des coefficients de celles-ci, qu'on trouvera toujours par les formules données dans la Note X.

On pourrait croire que chaque fonction différente des racines d'une même équation dépendrait aussi d'une équation différente; cela a lieu, en effet, pour toutes les fonctions qui ne sont pas semblables, mais pour celles que j'appelle semblables, et dont la propriété consiste en ce que, par les mêmes permutations, elles varient ensemble ou demeurent les mêmes, on peut les faire dépendre toutes d'une même équation, parce qu'on peut toujours les exprimer par des fonctions rationnelles d'une quelconque d'entre elles.

J'ai donné dans les Mémoires de l'Académie de Berlin de l'année 1771 (p. 2o3 et suiv.) (*) une méthode générale pour la détermination des fonctions semblables des racines d'une équation quelconque donnée; je ne la rapporterai point ici, pour ne pas trop allonger cette Note.

10. Mais je ne saurais la terminer sans dire un mot du beau travail que feu Vandermonde a donné dans les Mémoires de l'Académie des Sciences de Paris (année 1771) sur la résolution générale des équations. Son Ouvrage et le mien ont été composés et lus à peu près en même temps, l'un à l'Académie des Sciences de Paris et l'autre à celle de Berlin. Vandermonde, en partant d'un principe général, est arrivé à des résultats semblables à ceux auxquels m'avait conduit l'examen des

( *) Œuvres de Ln grange 9 t. III, p. 20 5.

différentes méthodes connues jusqu'alors. Comme ce rapprochement est intéressant pour l'analyse, on sera bien aise de les trouver ici.

Le principe dont il s'agit est que l'expression analytique des racines d'une équation doit être une fonction de ces racines, telle qu'elle puisse égaler indifféremment chacune des racines, et qui ne soit qu'une fonction de leur somme, de la somme de leurs produits deux à deux, de celle de leurs produits trois à trois, et ainsi de suite, afin que cette fonction puisse en même temps se déterminer par les seuls coefficients de l'équation donnée.

41. En examinant, conformément à ce principe, la résolution connue de l'équation du second degré, Vandermonde observe que la fonction qui donne cette résolution est de la forme

a-hb -h v(« — />) 2

a et b étant les deux racines de l'équation. En effet, à cause de l'ambiguïté du radical carré, cette expression devient indifféremment a ou b, et, en même temps, les deux quantités a -+- b et (a — b) 2 sont exprimables par les coefficients de l'équation

x* — Ax-h B = o, car on a

<i + A = A 9 (a-6) 2 ~/i 2 -+-fc 2 — 2«6 = (rt + fr) 2 - \ab = A 2 - 4B,

ce qui donne la résolution connue

Adbv'A 2 — 4ÎÎ

L'auteur applique ensuite le même principe aux équations du troisième degré, et il trouve que la fonction qui donne leur résolution peut se réduire à la forme

a -t- b-h c + V(a-h r -+- / -"c ) * -f- \/( a H- /'7; -+- rc)*

où 0, b f c sont les trois racines de l'équation, et r\ ? les valeurs qui satisfont avec l'unité à l'équation

En effet, cette expression devient d'abord égale à a, à cause de i -f-r'-+-r"= o; ensuite, comme chaque radical cube peut être multiplié par r' ou r", la même expression deviendra b ou c en multipliant les deux radicaux par r' et r", ou par t* et r\ à cause de /*"= Z 2 (n° 5). De là Yandermonde conclut que, pour un nombre quelconque m de racines, la fonction qui deviendra indifféremment a, ou b, ou c, etc. sera de la forme

r\ r", r w , ... étant avec l'unité les racines de l'équation

Si l'on compare cette expression à celle de la racine x' du n° 16, on verra facilement leur accord, en considérant que est en général

= (a;'+aa?*+ <x. 2 x w -h . . .) m (n° 15), et que 0', 0", . . . sont les valeurs de 6 qui répondent aux racines a, p, y, .. . de l'équation

lesquelles sont désignées par r\ r", r m , ... dans l'analyse de Vandermonde, et que, lorsque m est un nombre premier, toutes les racines sont représentées également par i, a, a 2 , a 3 , ..., par i, p, £*, p\ ... (n° 5).

Pour déterminer les valeurs de (a-+-r'6-t-r"c-f-...) m en fonctions des coefficients de l'équation donnée, en quoi consiste toute la difficulté du problème, l'Auteur emploie un algorithme ingénieux, fondé sur une notation particulière; il ne cherche pas a priori, comme nous Pavons fait, le degré de l'équation d'où cette détermination doit

dépendre, mais il donne pour les équations du troisième et du quatrième degré leur résolution complète, et pour celles du cinquième et du sixième degré des formules générales qu'il appelle types, et qui font voir que la résolution de l'équation du cinquième degré dépend en dernière analyse d'une équation du sixième et que la résolution de celle-ci dépend de celle d'une équation du quinzième ou du dixième degré, comme nous l'avons trouvé.

42. Yandermonde a aussi remarqué les simplifications dont la formule générale des racines est susceptible dans les degrés dont l'exposant est un nombre composé; par exemple, il trouve que, pour les équations du quatrième degré, les racines a, b, c, d peuvent être représentées par la fonction

en prenant les radicaux carrés en plus et en moins, et il en déduit la résolution donnée plus baut (n° 36).

Comme la méthode de Yandermonde découle d'un principe fondé sur la nature des équations, et qu'à cet égard elle est plus directe que celle que nous avons exposée dans cette Note, on peut regarder les résultats communs de ces méthodes sur la résolution générale des équations qui passent le quatrième degré comme des conséquences nécessaires de la théorie générale des équations.