OU L ON DONNE LA RÉSOLUTION GÉNÉRALE DES ÉQUATIONS A DEUX TERMES

t. Quoique les équations à deux termes telles que

art* — A = o, ou plus simplement ari 1 — 1 =

(puisque cette forme-là peut se réduire à celle-ci, en y mettant x\'A pour x), soient toujours résolubles par les Tables des sinus d'une manière aussi approchée qu'on puisse le désirer, en employant la formule connue

x =z cos - 36o°-f- sin - 36o°v — i

et faisant successivement v = i, 2, 3, . . ., p., leur résolution algébrique n'en est pas moins intéressante pour l'Analyse, et les géomètres s'en sont beaucoup occupés. Ils ont d'abord réduit la difficulté à résoudre les équations dont le degré a pour exposant un nombre premier, comme nous l'avons vu au commencement de la Note précédente. Ils ont trouvé de plus que, comme l'équation

a nécessairement 1 pour l'une de ses racines, en la divisant para: — i, on a pour les autres l'équation du degré ;/. — 1

laquelle, étant du genre des équations qu'on appelle récip.oques, parce qu'elles demeurent les mêmes en y changeant x en - 1 est décom-

posable en ^—^ équations du second degré, telles que

x- — rx 4- 1 = o,

dans lesquelles y dépeud d'une équation du degré - de la forme

où v = ^— - » comme nous l'avons vu dans la Note X (n° 14). De cette manière on avait pu résoudre l'équation

parce qu'elle se réduit à une équation du troisième degré; mais on était arrêté à l'équation

qui ne se réduit par ce moyen qu'à une du cinquième.

2. On en était là lorsque M. Gauss donna, en 1801, dans son excellent Ouvrage intitulé Disquisitiones arilhmeticœ (*), une méthode aussi originale qu'ingénieuse pour réduire la résolution de l'équation

lorsque p. est un nombre premier, à la résolution d'autant d'équations particulières que le nombre 4 a — i contient de facteurs premiers, et dont les degrés soient exprimés par ces mêmes facteurs. Ainsi l'équation

ne demande que la résolution de deux équations du second et d'une du troisième, parce que i3 — i = a. a.3» L'équation

(*) Cet Ouvrage vient d'être traduit en français, sous le titre de Reclterclœs arithmétiques, chez Courcier.