Soit l'équation à résoudre

[/. étant un nombre premier; si l'on en sépare la racine =i, elle s'abaisse à celle-ci du degré |x — i

Soitr une racine quelconque de cette équation; on pourra représenter ses \x — i racines par les termes de la série géométrique

comme nous l'avons démontré dans la Note précédente (n° 5).

M. Gauss a eu l'idée ingénieuse et heureuse de substituer à la progression arithmétique des exposants de r une progression géométrique*, en vertu du fameux théorème de Fermât sur les nombres premiers.

Par ce théorème, démontré d'abord par Euler et ensuite par tous ceux qui se sont occupés de la théorie des nombres, on sait que, si ;x est un nombre premier et a un nombre moindre que p, le nombre a* 1 — i sera nécessairement divisible par p., de sorte que le reste de la division de cF" 1 par p sera l'unité.

Euler a démontré de plus que, si en divisant tous les termes de la progression a, a 2 , a', ..., cF" 1 par p il se trouve d'autres puissances de a qui donnent aussi l'unité pour reste, les exposants de ces

puissances seront nécessairement des diviseurs de »x— - i, de sorte que, pour savoir si parmi les puissances de a moindres que cf s il y en a aussi qui étant divisées par (j. donnent le reste i, il suffira d'essayer celles dont l'exposant sera un diviseur de p. — i.

4. On nomme racines primitives les nombres a dont aucune puissance moindre que a?" 1 ne donne le reste i par la division par p, et ces racines ont la propriété que tous les termes de la progression a, a 2 , a\ . .., a* 1-1 , étant divisés par |/., donnent des restes différents et donnent par conséquent tous les nombres moindres que [/. pour restes, puisque ces restes sont au nombre de jj. — i . Car, si deux puissances a", a p donnaient le même reste, n et p étant <[/. et/></i, leur différence a! 1 — a p = a p {a n ~ p — i) serait nécessairement divisible par j/.; mais, a n'étant pas divisible et \l étant premier, il faudrait que a n ~ p — \ le fût; donc il y aurait une puissance a" -7 ' moindre que a* 1 " 1 qui donnerait l'unité pour reste; par conséquent, a ne serait pas racine primitive, contre l'hypothèse.

On n'a pas, jusqu'à présent, de méthode directe pour trouver les racines primitives pour chaque nombre premier; mais on peut toujours les trouver facilement par le tâtonnement. Ëuler en a donné, dans les Commentaires de Pétersbourg (T. XVIII), une Table pour tous les nombres premiers jusqu'à 37, que nous placerons ici :

2, 3, 8, io f ii, 14, i5, 18, 19, 21, 26, 27,

où l'on remarque que le nombre de ces racines primitives, pour un nombre premier \j. donné, est toujours égal à celui des nombres moindres que (/. et premiers à \l — i . On peut voir sur ce sujet la Section III des Disquisiliones arithmeticœ.

Au reste, pour notre objet, il suffira de connaître une seule des racines primitives pour un nombre premier donné, et il sera toujours plus avantageux pour le calcul d'en connaître la plus petite.

5. Soit donc a une racine primitive pour le nombre premier [/., de manière que les [/. — i termes de la progression géométrique a, a 2 , a 3 , . . . , a 1 * -1 , étant divisés par [a, donnent pour restes tous les nombres moindres que ;/., dont l'unité sera le dernier; il est facile de voir que les (/.— i racines r, r 2 , r\ ..., r* 1 " 1 (n° 3) pourront aussi, en faisant abstraction de l'ordre, être représentées par la série

car, comme on a par l'équation a?* 1 — i = o, dont r est supposé racine, /*= i, il est visible qu'à la place de chaque puissance de r, comme r*, lorsque \ > [/., on pourra toujours prendre la puissance r\ où v sera le reste de la division de \ par [x. Ainsi, dans la série précédente, ou pourra toujours réduire les exposants de r à leurs restes après la division par p., restes que nous avons vus comprendre tous les nombres i, 2, 3, ... jusqu'à [a — r, mais dans un ordre différent de l'ordre naturel, ce qui est ici indifférent pour les racines r, r* 9 r*,

L'avantage de cette nouvelle forme des racines consiste en ce que, si dans la série des racines

on met r a à la place de r, elle devient

et, si l'on y met r a * à la place de r, elle devient

et ainsi de suite.

En effet il est visible que, par la substitution de r a à la place de r, r a devient {r a ) a = r a \ r°* devient (r a ) at =r a \ etc., et le dernier terme devient [r a ) aV " 7 = r a *~ x = r, à cause que le reste de cf~ l après la division par ;x est l'unité.

De même, par la substitution de r a% au lieu de r, r a% devient (/■**)*= r a \ r a% devient (r a *) at = r"\ etc., l'avant -dernier terme r a *" z deviendra

{i^y^ 9 = r^ 1 = r 9 le dernier deviendra (r*y*~*=r"= r*, à cause que le reste de la division de a? par \l est a, puisque 0?= a.cf~ s , et que le reste de la division de cf* est 1.

6. Cela posé, si pour résoudre l'équation du degré (/. — 1 (n° 5) dont les racines sont (n° 5)

r r** pi* i*ft È raf *

r 11 étant = 1, en vertu de l'équation x^ — 1 — o, on emploie la méthode de la Note précédente, et qu'en prenant ces racines pour x 9 x'\ % x m % . . . on fasse (n° 14, Note précédente)

où a est une des racines de l'équation f h ~ % — \ = o; qu'ensuite on développe la puissance ([/. — - \) xème de /, en faisant attention de rabaisser les puissances de a et de r au-dessous de a 11 " 1 et de r*\ par les conditions a 11-1 = 1 et r v '= 1, de manière qu'on ait cette fonction ordonnée suivant les puissances de a

les quantités £°, £', £", ... seront des fonctions rationnelles et entières de r, telles qu'elles ne changeront pas par la substitution de r", r"\ r"\ ... à la place de r, puisque nous avons vu (n° 16, Note précédente) que ces quantités, regardées comme des fonctions de x\ x*\ x m % . . . , sont invariables par les permutations simultanées .de a:' en x", a?" en

.r'\ etc., ainsi que par les permutations simultanées de x' en œ m , x" en x" % etc., auxquelles répondent les changements de r en r", en r a \ etc. (n° 5).

7. Maintenant il est clair que toute fonction rationnelle et entière de r dans laquelle H 1 = i peut toujours se réduire à la forme

A -h Br -f- O 2 -h Dr* -h . . . -+- N i+-« ,

les coefficients A, B, C, ... étant des quantités données, indépendantes de r. On peut même prouver que toute fonction rationnelle de r est réductible à cette forme, car, si elle a un dénominateur, on pourra toujours le faire disparaître en multipliant le haut et le bas de la fraction par un polynôme convenable en r, comme nous l'avons vu dans la Note IV (n° 3).

Or, puisque dans notre cas les puissances r, r* f r*, . . ., r*" 1 peuvent être représentées, quoique dans un autre ordre, par les puissances r, r", r fl \ r"\ .... r a *~\ on pourra également réduire toute fonction rationnelle de r à la forme

A -h Br-+- Cr«-h Dr*' 4- Er^-h. . .-h Nr*^\

en prenant pour A, B, C, ... des coefficients quelconques indépendants de r.

Donc, si cette fonction est telle qu'elle doive demeurer la même en y mettant r a à la place de r, il faudra que la nouvelle forme

A -+- Br*+ Cr«*-h Dr*'-f- . . . -h Nr

(la puissance r^"* devenant r* 1 *""' se change en r, puisque r* = i et a* 4 " 1 divisé par p. donne le reste i) coïncide avec la précédente, ce qui donne ces conditions

et réduit la forme de la fonction à celle-ci

A -f-B(r-t- /■*-+- r* , -hr« , -4-...-hr« ,1 ~ 8 ).

8. Donc, si l'on dénote par s la somme des racines r, r* 9 r*, .. ., r* 1-2 , on aura également

et les quantités £°, £\ £", ... de la fonction seront toutes de la forme A -h Bs.

Les coefficients A et B se détermineront par le développement actuel de la fonction = f ll ~ , f et la quantité s est connue par la nature de l'équation à résoudre (n° 6)

laquelle donne sur-le-champ s = — i. Ainsi» on a le cas où les valeurs des quantités ;°, £', ;", ... sont connues immédiatement, sans dépendre d'aucune équation , de sorte qu'en désignant par i , a, p, y, ... les •a — i racines de l'équation

et par 0°, 0', 6", 0", ... les valeurs de qui répondent aux substitutions de ces racines à la place de a, on aura sur-le-champ, par les formules de la Note précédente (n° 16), en substituant r pour x et {/. — i pour m,

Telle est l'expression d'une des racines de l'équation

on aura toutes les autres par les puissances r 2 , r\ . .., r* ', mais on peut aussi les avoir directement par les mêmes formules, en prenant ï" pour x", r* pour x w , etc.

On aura, de cette manière,

9. On pourra aussi, si Ton veut, se dispenser de calculer ces quantités £° et 6°, car, par ce que nous avons dans l'article 17 de la Note pré-

cédente, le terme \/6° (en faisant ici /w = jx— i) est toujours égal à la somme des racines que nous dénotons en -général par s, et l'expression de 6 peut se mettre sous la forme

qui ne renferme pas £°, et il n'y a plus qu'à substituera, p, y, ... au

lieu de x pour avoir les valeurs de 0', 6", 6*,

De cette manière, la résolution de l'équation

ne dépendra que de la résolution de l'équation

dont i , a, p f y, . . . sont les racines. Or celle-ci est d'un degré moindre que la proposée; mais de plus, comme ;x — i est nécessairement un nombre composé, on aura les racines a, p, y, . . . par celles d'autant d'équations ^—1=0 qu'il y aura de facteurs premiers u dans le nombre [*.— 1, comme on l'a vu dans la Note précédente (n" 12).