Soit, par exemple, l'équation

dont on demande les racines. Cette équation étant résoluble par les méthodes connues, on pourra comparer cette solution avec celle qui résulte de la méthode précédente.

En ôtant par la division la racine 1, on a l'équation du quatrième degré

dont les racines seront r, r 2 , r*, r 1 .

Puisqu'on a ici ^ = 5, on trouve par la Table donnée ci-dessus (n° 4) que la plus petite racine primitive est 2, de sorte qu'on a a = 2, et

que les racines dont il s'agit peuvent être représentées par les puissances r, r 2 , r 2 ', r 2 ', lesquelles se rabaissent, à cause de r 1 = i , à celles-ci r,r* f r\ r\ en prenant, au lieu de l'exposant a'= 8, le reste de la division par 5.

On fera donc

en prenant pour a une racine de l'équation

de manière que Ton ait a 4 = i .

Maintenant, pour trouver la fonction 0, il n'y a qu'à élever à la quatrième puissance le polynôme / et le développer suivant les puissances de a, en rabaissant celles-ci au-dessous de a 4 , et celles de r au-dessous de r*, par les conditions a 1 = i et r 5 = i . On trouve, par un calcul qui n'a aucune difficulté,

où les quantités ï°, ;\ ... ont les valeurs suivantes, dans lesquelles je mets s pour la somme des racines r, r 2 , r\ r 1 :

g*=ii + i3«, g' = i6 + ii* 9 Ç" = o4-»-ioi f 5"*= i6#.

Ainsi, comme s = — i par la nature de l'équation en x, on aura

et la fonction deviendra

Or l'équation

se décomposant en ces deux-ci

)~ 2 — i = o et ^'-4-1 = 0,

donne tout de suite les quatre racines i, — i, V — J » — ^— '? qu'il VIII. 43

faudra substituer successivement pour a, pour avoir les valeurs de 0°,

On aura ainsi

0' = i5, 9"= — i5-hioi/— i 9 0*= — i5 — ioV— i.

Donc, substituant ces valeurs dans l'expression de r du n°8 et mettant s = — i au lieu de y8° (n° 9), on aura sur-le-champ

11. Mais on peut avoir une expression plus simple de la même racine r en faisant usage de la méthode du n° 25 de la Note précédente, laquelle est toujours applicable aux équations du genre que nous traitons, parce que l'exposant^— i est nécessairement un nombre composé.

Supposant donc en général

f* — I = VBT,

et prenant pour <x une racine de l'équation

la fonction / du n° 6 deviendra de la forme

dans laquelle

X' =r +K H-r« :v -t-r** +...+ i*<— •>•, X" = r* h- r« v+1 + r** +1 + r" iv+ ' -+-...-+- r* ( - ,,>+,

On formera ensuite la fonction 6 = i\ laquelle, à cause de a v = r , sera de la forme

et aura la propriété que les quantités i\ £', ;", ... seront des fonctions de X', X", X", . . . telles» qu'elles demeureront invariables en échangeant a la fois X' en X", X"en X", X" en X ,T , etc., et X« en X'.

Or on voit, par les expressions précédentes de X', X", .. ., qu'en y substituant r a à la place de r, X' devient X", X" devient X*, etc. , et X (v) devient X', car X (v) se change en

mais ctv = p. — i et r a *~ l = r, comme on l'a vu ci-dessus (n° 5).

Donc les quantités £°, £', Z", ... devront être des fonctions de r telles qu'elles demeurent invariables par le changement de r en r a ; par conséquent, par le n° 7, elles ne pourront être que de la forme A-hBj, A, B étant des coefficients qui seront donnés par la formation de ces mêmes quantités, et s dénotant la somme des racines r -h r" -h r* -h r* % -h . . . -+- r"*~\ laquelle est = — i par l'équation proposée; de sorte que les quantités ;\ ;\ ;", . .. seront toutes données, comme dans le cas précédent (n° 10), et l'on aura sur-le-champ par les formules du n° 25 de la Note précédente, en y mettant v à la place de /i, et 5, somme des racines, à la place du terme y 6°,

v , *-+- 5/0'-*- VQ" +

Dans ces expressions, a, p, y, . . . sont, avec l'unité, les racines de l'équation

et 0', 6", (T, ... sont les valeurs de 6 qui répondent' à la substitution de a, p, y, . . . au lieu de a.

On n'aura pas besoin de calculer la valeur de £° en employant

l'expression de 6 du n° 9, laquelle devient ici

12. Le cas de v = ?—— mérite une attention particulière, parce qu'il donne la division de la circonférence en pi parties.

Soit donc v = £— -> et par conséquent ci = 2 ; on aura X'= r •+- r" * . Or, puisque a* 1 " 1 — 1 est divisible par \l et que a est supposé une racine primitive, a ■ — 1 ne sera pas divisible par pi; mais

a*- 1 — 1 = (a~*~ — 1) (a"*" -f- 1 j; donc, pi étant un nombre premier, a ■ +1 sera divisible par pi; par

n-i tu?

conséquent, — r sera le reste de la division de a * par pt.; donc r" sera égal à -• Ainsi on aura

Or on a, par les formules connues du théorème de Cotes (n° 1),

r = cos h sin v — '

et, en général,

r™ — cos — 36o° -4- sin — 36o° v^— 1 .

Donc

X'= 2 cos — , X"= 2 cos - 36o», X"= * cos — 360°, . . . .