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Ainsi les valeurs de X', X' 7 , X", . . . sont toutes réelles dans ce cas et donnent immédiatement les cosinus des divisions de la circonférence en pi parties.

DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES. 3Vt

13T Ayant trouvé, par les formules générales du n° H, les racines X', X", X", ... , il faudra poursuivre le calcul de la même manière pour arriver à la racine v. On regardera donc les ct racines qui composent la fonction X' comme les racines d'une équation du degré gj, et on les substituera pour x, x'\ x m , . .., x' u) dans l'expression générale de la fonction /; on aura ainsi

où il faudra prendre pour a une racine de l'équation y™ — i = o. De là on aura, à cause de &"= i,

(J'écris ici /,, 0,, £, pour distinguer ces quantités de celles que nous avons désignées plus haut par /, 0, £.) Comme les quantités 1% £',, Z\, ... sont en général des fonctions de x\ x\ x m , . . . qui ne varient pas par les permutations de x en x" 9 a? en x'\ etc., x (xs) en x' (n° 16, Note précédente), elles seront ici des fonctions de rqui ne varieront pas en y changeant r en r a \ puisque par ce changement les racines r, r"\ r" ! \ . . ., r* { *" 4,v deviennent respectivement r a \ r"*, r fl '\ . . . , r.

Or il n'est pas difficile de prouver, par un procédé semblable à celui du n° 8, que toute fonction rationnelle de rqui aura la propriété d'être invariable par le changement de r en r a " sera nécessairement de la

forme

A -h BX-+- CX" 4- DX" + . . .-+- HXW,

en conservant les expressions de X', X", X w , . . . du n° 1 1 .

Car d'abord toute fonction rationnelle de r peut se réduire à la forme (n° 7)

A 4- Br -h Cr« -h Dr« f -+- Er«' -h . . . -4- N r* 1 *" 1 ;

et, pour que cette fonction demeure la même en y changeant r en r"\ il faut que les coefficients des termes qui renferment r fl> , r*" f r"\ . .. soient les mêmes que celui de r, que les coefficients des termes qui renferment r* v+ \ r*** 1 , r"** 1 , . . . soient les mêmes que celui de r", que

ceux des termes r" v+ \ r a *^\ r* M 9 . . . soient les mêmes que celui de r*\ et ainsi de suite; ce qui réduit la fonction à la forme que nous venons de lui assigner. En effet, on voit que chacune des quantités X', X", X w , . . ., X (v) demeure la même en y substituant r* ¥ à la place der, car le dernier terme r a(w ~ ,,v de X' devient r aW "= r"*~ l = r, le dernier r* <w ~ ,)v ^' de X" devient r aWvM = r°, et ainsi des autres.

14. Donc chacune des quantités £\ £', 5", ... deviendra, après le développement, de la forme