A + BX'+CX'+DX

et aura par conséquent une valeur connue. Ainsi la fonction sera connue, et Ton aura les valeurs de 8\ 6", 8", ... en y substituant, au lieu de a, les u — i racines a, (3, y, ..., qui, avec l'unité, résolvent l'équation

On aura ensuite pour r une formule semblable à celle du n° 8, en y mettant a à la place de p. — r , et X\ somme des racines, au lieu du terme \0°. On aura ainsi

X'-h^âV^-f-VÊ* -+-...

15. On aurait aussi, si on le désirait, les expressions des autres racines r a \ r**, r" s \ ... qui composent la fonction X'(n° 11), en multipliant dans l'expression de r les radicaux y6', y8", ..., d'abord par a CT -\ p CT - f , . . . , ensuite par a°" 2 , p°- 2 , . . . , par a*" 3 , p*" 3 ,

On pourrait même, sans faire un nouveau calcul, avoir également les racines r a 9 r" v+l , ... qui composent la fonction X", par la seule considération que X' devient X", X" devient X"\ etc., en y changeant r en r"; de sorte qu'il suffira de changer, dans l'expression générale de 0, X' en X' 7 , X" en X", etc., X« en X'.

Par la même raison, comme X' devient X"\ X" devient X 1 *, etc., par la substitution de r°* à la place de r, on pourra déduire des expressions des racines qui composent la fonction X' celles des racines qui

composent la fonction X" en changeant simplement, dans l'expression générale de ô, X' en X", X" en X", etc., X (V " ,J en X', X (v) en X", et ainsi de suite.

16. Si le nombre a n'est pas premier, on pourra, en le décomposant en ses facteurs, décomposer encore l'opération précédente en d'autres plus simples.

Ainsi, si u = vV, on pourra ne prendre pour a qu'une racine de l'équation

en sorte que <x y = i, et la fonction /, (n° il) deviendra

/, = X', 4- «X f , -+- a*X7-b. . .4- oC'~* X™,

en supposant

X', =r 4-r^ 4-r**** - h ...+ r «<- v, \ X', = r^ 4-r«^ v + r* {t " li '+. . .4- r* {m -^ l) \ XT = f** 4- r* ( * +, "-h r* ( *" +,,v 4-. . .4- r* ( - y+a, \

(ïV-l)v fl('V'-')» , . ««(»-*)*

Xr>= r- (y - ,) V i-^-^+ r« (1v/ - ,,v 4- ... 4- r*

On fera ensuite 0, = c[, et l'expression de 6, étant développée sous la forme

0, = tf 4- «?. 4- a'E 4- . . . 4- a*'-« ft\

à cause de <x y = i, les quantités ^, £',, £*, ... seront des fondions de X,, X*, X" 9 ... qui ne changeront pas par le changement simultané de X' f en X', de X\ en X?, X7en X 1 ;, etc., X^ en X', (Note précédente, n° 25). Or on voit, par les expressions précédentes de X',, X*, . . ., que ces changements ont lieu en changeant simplement r en r"\ Donc les quantités 1% £',»£*» - •• » regardées comme des fonctions de r, devront être invariables par le changement de r en r av ; par conséquent, elles seront nécessairement de la forme

A 4- BX'4- CX"4- D\'-h . . . , par ce qu'on a démontré ci-dessus (n° 13).

Donc, puisque les valeurs de X', X", X*, . . . sont déjà connues par l'opération précédente, celles de 1% £' |f £*, ... seront connues aussi. Ainsi la fonction 4 sera connue aussi, et de là on aura les valeurs

des v' racines X' |t X', X^, ... par des formules semblables à celles du

n° 11, en y changeant v en v', X en X M en 6,, et prenant pour a, p, y, ... les racines de l'équation

excepté l'unité.

On remarquera aussi que s étant la somme des racines X^-hX" -h X^-k.. sera ici égal à X'.

17. La valeur connue de X', ne donne que la somme des ct' racines r, r a *\ r**\ ..., r* lo '"" ,, ' v ; il faudra, pour avoir la valeur de r, regarder encore ces u' racines comme données par une équation du degré ct', et faire de nouveau

en prenant pour a une racine de l'équation

on fera ensuite

et l'on suivra le même procédé que nous avons exposé dans les n°* 13 et suivants. Que si le nombre ct' est composé de manière que l'on ait ct'=v"cj ,/ , on pourra, pour éviter le développement d'une puissance trop haute, prendre pour a une racine de l'équation

ce qui donnera à t 2 la forme

/ a =X' 2 4-aXr 2 -ha2XÎ4-...4-a v "-«X , / r »,

et l'on poursuivra le calcul comme ci-dessus, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on arrive à un dernier facteur indécomposable.

DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES. 3i5

L'avantage de ces décompositions consiste dans l'abaissement des puissances auxquelles il faut élever les polynômes / pour avoir les fonctions 6, ce qui diminue la longueur du calcul, et ensuite dans l'abaissement des radicaux qui entrent dans l'expression de la racine r, ce qui simplifie cette expression.

Telle est la marche générale et uniforme du calcul ; nous allons l'appliquer à quelques exemples pour la faire mieux concevoir, et nous reprendrons d'abord celui de l'équation

que nous avons résolue ci-dessus (n° 10).

18. On a ici |a — 1 = 4 = 2.2; ainsi on fera v = 2, u = 2 (n° 11). On prendra pour a une des racines de l'équation

de sorte que, à cause de a 2 = 1, l'expression de la fonction / du n° 10 devient

/ = X'-haX", où X'=r-fr», X" = r* -4- r' .

De là on trouve, en faisant le carré de /, à cause de a 2 = 1,

Substituant les valeurs de X', X" en r, et développant les carrés et les produits, en rabaissant les puissances de r au-dessous de r 3 , à cause de r 5 = 1 , on trouve

Donc, comme r-hr 2 -t-r 1 -t-r\ somme des racines, est = — 1, par l'équation, on a Z = 3 et ;' = — 2. Ainsi l'expression générale de 8 deviendra 8 = 3 — 2a.

De là, à cause que les valeurs de a sont 1 et — 1 , en faisant a = — 1 , on aura 8'= 5, et, comme

/ . — " ■ —H* - iv

S = X -hX -4-X~H-i" = — I,

vin. 44

les formules du n° 11 ci-dessus donneront

X'= — L-L-ir, x" =

On aura ainsi par la valeur de X' celle de r+r 2 ', somme de deux des quatre racines de la proposée. Pour avoir la racine r en particulier, on fera de nouveau un calcul semblable, en considérant les deux racines r et r 4 comme racines d'une équation du second degré.

On fera donc t t = r-f ar\ x étant, comme ci-dessus, racine de

et de là, on aura

f = /?=$? + «?„ où £?=/*+/* ei £, = *#*.

Ici, on voit tout de suite que les valeurs de £J et l\ sont données au moyen des valeurs déjà connues de X' et X". En effet, à cause de /■* = i, et par conséquent r*= r\ on a £J = ^-f/ 4 ^ X" et £', — 2. Donc on aura 8 l = X // -+-2a; de là, en faisant <x= — 1, on aura 6', = X"— 2, et la formule du n° 14 donnera, u étant = 2,

Enfin, substituant ici les valeurs X' et X" trouvées ci-dessus, on aura

et, par les remarques du n° 15, on aura aussi

et, changeant X' en X", X" en X',

d'où l'on aura, par les substitutions des valeurs de X' et X",

— i-hv/5