Venons à l'équation

laquelle, étant divisée par x — i, s'abaisse au dixième degré et devient

J^ + ^ + ^ + ^ + ^ + r + j' + X' + ^+X + lizO.

On voit, par la Table du n°4, que la plus petite racine primitive pour le nombre 1 1 est 2; ainsi la suite des restes, qu'on trouvera facilement

par le procédé du n° 21, sera ici i 9 2, 4» 8» 5, io, 9, 7, 3, 6, de sorte que la série des racines sera

dont la somme sera par conséquent = — 1, et Ton aura pour / cette expression générale

laquelle, en prenant pour a une racine de l'équation

donnera, à cause de <x 40 = 1,

d'où Ton tirera la valeur de r par la formule générale du n° 8, en y faisant ;jl = 1 1 .

Mais, pour se dispenser d'élever le polynôme / à la dixième puissance, on pourra décomposer l'opération en deux autres correspondantes aux deux facteurs 2 et 5 du nombre 11 — 1 = 10, par la méthode du n°ll.

Prenons d'abord pour a une racine de l'équation

de sorte que l'on ait a 2 = 1 . Par là, l'expression de / se réduira à cette forme plus simple

en faisant, pour abréger,

X'rrfi+r' + r^+rH r 6 ,

et la valeur de sera

= n= X'2 + X"* -h asX'X".

En développant les carrés des fonctions X' et X", et rabaissant toutes

les puissances de r au-dessous de r M , a cause de r' 1 = i 9 on trouve

et par conséquent

à cause que X'-h X" est la somme de toutes les racines. On trouve de même, par la multiplication,

On aura ainsi = — 5 -h 6a, et, faisant a = — i , on aura 6 = — 1 1 Donc on aura par les formules du n° 11, en y faisant v = 2,

25. Ayant ainsi les valeurs de X' et X\ pour avoir celle de r, il faudra considérer les cinq termes qui composent la quantité X' comme les racines (l'une équation du cinquième degré, et, puisque 5 est un nombre premier, on ne pourra employer que l'expression générale de t,

en prenant pour a une racine de l'équation

Ensuite il faudra faire

et il ne s'agira que de trouver les valeurs en r des coefficients S , ç\ . . . par l'élévation de l'expression de / à la cinquième puissance, en ayant soin de rabaisser les puissances de a au-dessous de a 5 et celles de r au-dessous de r 11 , à cause de <x 5 = 1 et r 11 = 1. Par un calcul qui n'a de difficulté qu'un peu de longueur et sur l'exactitude duquel ou peut compter, j'ai trouvé, en retenant les expressions de X' et X" en r

du numéro précédent,

£o =:iao+3iX'-h7oX", £' ^-ioo + 6oX'4-4:>X", f = 5o + 85X'-+-3oX M , £":=6oX'-4-65X", £"=5oX'4-75X".

Comme les valeurs de X', X" sont déjà connues par l'opération précédente, l'expression de la fonction de 8 ne présente plus rien d'indéterminé, et elle donnera sur-le-champ la valeur de la première racine r par la formule générale du n° 14, en y faisant rs = 5 et prenant pour a, p, y, 8 les quatre racines qui, avec l'unité, résolvent l'équation

et pour 8', 8", 6", 8 IV les valeurs de 8 qui répondent aux substitutions de a, (î, y, & à la place de a dans l'expression trouvée pour 0.

26. Si dans les valeurs de £°, £', ... on substitue celles de X' et X" données dans le n° 24, on a

j is5 -f- 5 v/— 11

tiv iî5-h^5y/ — 11

Si ensuite, au lieu des racines (3, y, S, on substitue les puissances % 2 , a*, a 4 de la racine a, qui les représentent, à cause que 5 est un nombre YHI. 45 .

premier, et qu'on rabaisse les puissances de a au-dessous de a 5 , on aura

0" = £• + « a f 4- aT+*r -+-« 5 É ,T .

et l'expression de la racine r sera

■if— I -+ \/^Vi) ■+■ ?^+ ? F-+- ï^-h v'^

où il n'y aura plus qu'à mettre pour a, a 2 , a 3 , x 1 les valeurs de r, r*, r\ r* que nous avons données plus haut (n° 18).

27. On trouverait par les mêmes principes les valeurs des puissances de r qui forment les autres racines de l'équation

excepté l'unité.

Et d'abord on aura les valeurs des racines r\ r\ r 9 , r 3 qui entrent dans la fonction X en multipliant, dans l'expression de r, les radicaux \0', \Ô", \0", \0 ,v , respectivement, par a 4 , p\ y 4 , S 4 pour la racine r\ par a\ p\ y 3 , S 3 pour r 5 , par a 2 , p 2 , y 2 , S 2 pour r 9 , et par a, p, y, & pour r\ c'est-à-dire par a*, a 3 , a 2 , a, par a 3 , a, a*, a 2 , par a 2 , a 1 , a, a 3 et par a, a 2 , a 3 , a 4 .

Ensuite, pour avoir les valeurs des autres racines r 2 , r\ r 10 , r T , r", qui entrent dans la fonction X", il n'y aura qu'à changer, dans celles de r f r\ r 5 , #••, r\ X' en X" et X" en X', ce qui ne demande que de changer le signe du radical \ — u dans les expressions de £°, E'

28. Je donne ici d'autant plus volontiers ces expressions des racines de l'équation

qu'elles n'ont jamais été données et qu'elles n'auraient pas même pu

l'être par les méthodes connues» qui demandent la résolution d'une équation du cinquième degré.

Il y a cependant une exception à faire à ce que nous venons de dire; car on trouve à la fin du Mémoire de Vandermonde sur la lïeso'utlon des équations f dont nous avons parlé dans la Note précédente, l'expression de la racine d'une équation du cinquième degré, d'où dépend la résolution de l'équation

Car cette équation, étant divisée par x — i, devient

laquelle, étant du genre des réciproques, peut s'abaisser au cinquième degré, par la substitution de x -h - = u, et l'on obtient, par les formules de la Note X (n° 14), cette équation en u

En prenant u négativement, ce qui change les signes de tous les termes pairs, on a l'équation résolue par Vandermonde. Cet Auteur ne donne l'expression dont il s'agit que comme un résultat de sa méthode générale, sans indiquer en détail les opérations par lesquelles il y est parvenu, et personne, après lui, ne s'est occupé, que je sache, à vérifier ce résultat, qui paraît même être resté ignoré.

29. La valeur que nous venons de trouver pour la racine r de l'équation

pourrait servir à cette vérification; mais on peut parvenir directement à un résultat comparable à celui de Vandermonde en prenant pour a, dans l'expression générale de / du n°2l, une racine de l'équation

au lieu de l'équation

que nous avons employée, ce qui est permis, puisque, 2 et 5 étant les facteurs de 10, on peut partir de l'un ou de l'autre à volonté.

30. Faisant donc a 5 = 1, l'expression générale de / (n° 24) deviendra

* = X' + aX* + a'X* -h <z'X ,lr -f- a*X\

dans laquelle

et Ton regardera maintenant les quantités X', X", ... comme les racines d'une équation du cinquième degré; c'est le cas que nous avons considéré en général dans le n° 12.

On fera donc

et l'on cherchera les valeurs de £°, £', S", ... en fonction de r par le développement de la puissance cinquième de t 9 en y rabaissant continuellement les puissances de a au-dessous de a 5 et celles de r au-dessous de r M , à cause de a 5 .- 1 et r H = 1. Le calcul n'a d'autre difficulté que la longueur. Voici les résultats que j'ai trouvés et dont je crois pouvoir répondre.

En faisant, pour abréger,

on a

£ ,T z=: igoo -h 1810$.

Or s est la somme des racines, qui, par la nature de l'équation du dixième degré en x, dont le second terme esta? 9 , doit être égale à — 1. Faisant donc s = — 1, on aura

Ainsi la valeur de 6 sera

= — 196 — i3oa-+- i55a*— 20a 3 -4- 90a*.

En mettant successivement à la place de a les quatre racines a, £, y, $ de l'équation

on aura les quantités 6', 8", G", 6 ,T , et, si Ton prend comme ci-dessus (n° 26), pour ces racines, les puissances a, a 2 , a 3 , a\ dont les valeurs sont les mêmes que celles de r, r 2 , r 3 , r* du n° 18, on aura, à cause de a* = r ,

6' r= — 196 — i3oa -+- a55 a 2 — 20 a 3 -h 90a*, 6" = — 196— i3oa 2 -l- 255a* — 10a -t-goa 3 , G* = — 196 — i3oa 3 4-^55a — 20a* -f- 90a 2 , 0"=i — 196 — i3oa l -f-a55a 3 — aoa 2 -h9oa ,

et la formule générale du n° 11 donnera tout de suite, en faisant v = 5et$= — 1,

Cette quantité X' est = r + r l0 = r-h -* à cause de r H = i; c'est la

36o° valeur de acos (n° 12); c'est aussi celle de la racine u de l'équation en u du cinquième degré (n° 28), puisque r est la racine de l'équation

x il — 1 = 0.

Ainsi l'expression précédente, prise négativement, doit s'accorder avec celle de Vandermonde.

31. Pour pouvoir les comparer facilement, nous substituerons dans les expressions précédentes de 8', 8", 8 W , 8 IV les valeurs de a, a 2 , a 3 , a', qui sont les mêmes que celles de r, r 2 , r 3 , r* du n° 18.

En faisant, pour abréger,

= V— 'o~ i^5 f n = v^~ io-t-a^5,

on a

et, pour s'assurer de la justesse de ces expressions, il n'y a qu'à faire le earré de — i -h y5 -f- *h» qui est

or, en faisant passer sous le signe radical de m le coefficient y' 5 — i élevé au carré, on trouvera

de sorte que, en substituant la valeur de m*, on a

On peut vérifier de même les autres puissances de a. Faisant ces substitutions, on trouve

où l'on remarquera que les coefficients 979, 275, 220 sont tous divisibles par 11 et donnent pour quotients 89, 25, 20, de sorte que les quantités 6', 6", ô'\ Ô IV peuvent être exprimées plus simplement ainsi :

V = , 4 t (— 89 — 25^5 — 2om-h25/i),

32. Pour rapprocher davantage nos expressions de celles de Vandermonde, nous emploierons ces transformations

en supposant

lesquelles se vérifient en faisant les carrés et en observant que pq = — \/5 t parce que le produit des deux radicaux réels et positifs

y 5 -+- 2\/5, y5 — 2 ^5 est y5; donc

l/5=p^—i-q^-i = -pq.

Par ces substitutions,

es quantités 6', 0", (T, 9 IV deviendront

33. Vandermonde a donné, dans les Mémoires de l'Académie des Sciences de Tannée 1771 (p. 4*6)» pour la résolution de l'équation

cette expression de la racine

dans laquelle

A" =vV-(89-»-*5^5-+-5ç-45fO, A w = V V (89 - i5 ^5 - 5 q - 45/>),

en conservant les valeurs de p et y supposées ci-dessus.

On voit que les expressions de A" et A IT coïncident avec celles de

V — û w et v — Vt et que les expressions de A' et A" ne différent de celles

de y — 0' et y— G IV que par rechange des quantités p et q entre elles,

ce qui ne tient qu'au signe du radical 2 \/5 sous le radical carré. A cette différence près, qui peut venir d'une faute d'impression dans le Mémoire de Vandermonde, ses résultats s'accordent parfaitement avec les nôtres, puisque la racine de son équation en x répond à la racine de notre équation en a, prise négativement, et que tout radical cin-

quième v — 6 est la même chose que — yû. On peut donc dire que Vandermonde est le premier qui ait franchi les limites dans lesquelles la résolution des équations à deux termes se trouvait resserrée.

34. Pour ne laisser aucun doute sur la correction à faire à la formule de Vandermonde, nous allons prouver qu'elle résulte des principes mêmes de sa théorie. En effet, si l'on désigne, comme lui, par r\ r", r'\ r* v les quatre racines qui, avec l'unité, résolvent l'équation

il est facile de voir, par la formule générale. de l'Article VIII de son Mémoire, que la quantité A ne peut être que de la forme

y/\ + Br' -h Cr"4- Dr'" -h Er"

et que, en prenant cette expression pour l'une des quantités A', A", A", A IV , les expressions des trois autres doivent résulter de celle-ci par la substitution de r 2 , r\ r k à la place de r, les quantités A, B, C, D, E étant des fonctions des racines de l'équation à résoudre, indépendantes des racines r', r", r w , / JV .

Or, par les relations données dans le même Article entre ces dernières racines, on a

r'3— rV" = r", #■"* = #V"= /*, #"» = v M r m = r', r"» = r>r"= 1",

r* — Hi 1 "— r", r"* = v"v"' — r', 1"* = r' r"= r", r"« = r"r"= f".

DES ÉQDATIONS ALGÉBRIQUES. 361

Donc les quatre expressions dont il s'agit deviendront

j/A -+• B/' -+- Cr" ■+- Dr" -+- E/'%

V A ■+- Hr w -+- Cr"+l)r" -+- E#\ )/A +- Hr" -+- Cr" -h Dr* -f- Er", ^A-f- Br" +Cr' -+-Dr"-+-E/".

35. Dans l'Article XXIII du même Mémoire, on trouve pour les racines de l'équation

ces expressions, dans lesquelles j'introduis, pour plus de simplicité, les mêmes lettres/» et q employées ci-dessus,

En prenant la première de ces racines pour r', de sorte que l'on ait

il faudra, d'après les formules du n° 31, en prenant x pour r', et substituant p + q>p — q pour m, n, supposer

•"= r" = {(- i -*/5 -/> + ? ), "=^ = \{-i+yll-p-q).

Substituant ces valeurs dans les expressions ci-dessus, elles se changeront en celles-ci

VKf-

■hG^S