EXTRACTION DES RACINES DES NOMBRES ENTIERS

154. Soit profMJsc, pour exemple, d^extroire la racine cuu[uièmv de 55073177Ü

Après avoir séparé les cinq derniers chiffres à droite du nombre proposé, on reconnaît que (5)*^, ou 3i25, et (6)% ou 7776, comprennent 5507; donc 5 exprime les dizaines de la racine cherchée.

Retranchant 3i25 de 55o7, on obtient le nombre 2382 pour reste, à coté duquel on abaisse le chiffre 3 de la première tranche à droite, ce qui donne 23823, nombre que l’on divise par 5 fois la puissance do 5, ou par 3 125. Le quotient est 7 ; mais, en élevant 57 à la 5" puissance, on obtient 601692057, nombre plus fort que le noinbre proposé. Essayant 56, on trouve

ainsi, 56 est la racine demandée.

On obtiendrait pareillement

2090455 = i8, avec le reste 200887;

^11 167913618807 — 407 exactement;

^94931877133 = 37 exactement.

1;>5. Remarque. — Toutes les fois que le degré de la racine à extraire est un nombre multiple de deux ou de plusieurs autres, comme 4> 6, . . . , la racine peut s^obtenir par une série d’extractions de racines de degrés plus simples.

Pour nous rendre compte de ces modiûcations, observons que rj: rf* X û’ X X a' = et

et qu’en général

(rï"*)" - if'x X ?< fl"‘ X . . . = ( n® 16).

Donc la puissance de la m'^"'^ puissance d’un nombre est égale à lu ///«"■'"* puissance de ce nombre.

Réciprociuement, la racine mn'^"'^ d’un nombre est égale à la racine racine né*”'* de ce nombre, ou, algébriquement, je dis que l’on a

En effet, soit

ciuriTBu V.

élevons les deux membres à la puissance, il vient

car, d’après la déQnition d’une racine, on a

Elevant de nouveau les doux membres à la ni""' puissance, on obtient a - (a'-)'" = a'^;

d’où, extrayant la racine mn"*"* des doux membres,

mais on a déjà

\j"!ja = a'\ donc

A’. B. — Comme {</“)" et (ci")" donnent également (f", on peut en conclure que

On trouvera, d’après ce principe.

= v^iG = 4 1

V 2985<)84 = yV‘^g85984 = (/1728 — 12; y 1771561 = yVi77i56i = ii; î/ 1679616 = ^ y^v^i6796i6 = y/y^i 296 = = C.

N. B. — Quoique les racines successives puissent s’extraire dans un ordre quelconque, il est préférable d’extraire d’abord la racine du degré le plus faible, parce qu’alors l’extraction de la racine du degré le plus fort, qui est une opération plus compliquée, porte sur un nombre ayant beaucoup moins do chiffres que le nombre proposé. C’est ce que nous avons fait dans le second et le troisième des exemples ci-dessus, (^o/cz d'ailleurs le premier N. B. de ce numéro.)

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EXXnACTION DES RACINES DES QUANTITÉS ALGÉURIQUES. 225