EXTRACTION DES RACINES PAR APPROXIMATION

150. Lorsque le nombre entier dont on demande la racine n’est pas une puissance parfaite, le procédé du n° 133 ne donne que la partie entière de la racine, ou la racine à une unité près. Quant à la fraction qui doit compléter la racine, elle ne peut être obtenue exactement; car on sait [^JrithmétUpte, n° 130) que, a et b désignant les deux termes

d’une fraction irréductible et 6" sont aussi premiers entre eux.

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Ainsi I -jj J 1 ou ne peut produire un nombre entier N, c’est-à-diro

que ne saurait être exprimée par un nombre fractionnaire exact

Mais on peut déterminer la racine avec tel degré d’approximation que l'on veut.

Soit, en général, proposé d’extraire la racine d'un nombre quel-

conque, entier ou fractionnaire, a, à une fraction près, c'est-à-dire de manière que l'erreur commise soit moindre que

fj ^ n'*

Observons que a p>eut se mettre sous la forme — Si l’on désigne par r la racine de ap/' obtenue à uno unité près, le nombre ’ ““ ">

est alors compris entre — et ■ — — ; donc aussi Ija est compris entre les racines de ces deux derniers nombres, c’est-à-dire entre - et — — :

donc enfin - est la racine demandée à une fraction près, -•

Règle générale. — Pour extraire ta racine a'"” d’un nombre quelconque à une fraction près j- 1 multipliez le nombre par p" ; extrayez du

produit la racine « une unité près, puis divisez le résultat par p.

Nous renvoyons, pour les applications de cette règle générale, à notre Aritlunétique, où nous avons exposé avec tous les détails convenables les différents modes d'approximation, tant pour la racine carré-e que pour la racine cubique.

Mais il nous paraît utile do donner ici quelques développements sur la manière d évaluer en décimales les expressions renfermant des signes radi-

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eaux qui sc rocouvrent, tels que y v«j V'' • • • •

Alg. n. i5