Soit à former la cinquième puissance de sa’ô’; on a

(3fl^ô’)‘ — ■sts'ù' X 3<Pô“ X 3<i’ô’ X X

d’où l’on voit : 1“ que le coelTicient 3 doit être 5 fois facteur dans le produit, ou doit y être élevé à la 5' puissance; 3° que chacun des exposants des lettres doit être répété cinq fois, ou multiplié par 5.

Donc enhn

(3a'i’)‘ =3‘.a»“ô»x‘ =3aa“è'‘.

Do même

CUAPITRE V.

(8n’iV)*= = 5i3o‘AV.

Ainsi, pour élever un monôme à une puissance d’un degré donné, il faut élever le corjfîeient à cette puissance, puis multiplier l’exposant de chaque lettre par l’cx/msant de la puissance.

Donc, réciproquement, pour extraire une racine de degré quelconque d’une quantité monôme, il faut : i° extraire la racine du coefficient; 3" diviser l’exposant de chaque lettre par l’indice de la racine.

Ainsi

y^^a’b’c* = tj \(>a' b'‘c' =: %a’b‘e.

On voit, d’après cetto règle, que, pour qu’un monôme soit une puissance parfaite du degré de la racine à extraire, il faut que son coefBcient soit une puissance parfaite de ce degré, et que les exposants des lettres soient divisibles par l’exposant ou Yindice de la racine à extraire. Nous verrons plus loin comment on simplifie l’expression de la racine d’une quantité qui n’est pas une puissance parfaite. *

1S9. Jusqu’à présent nous n’avons pas eu égard au signe dont peut être affecté le monôme ; mais si l’on observe que le carré d’un monôme est toujours positif, quel que soit le signe de ce monôme, et que toute puissance de degré pair an peut être regardée comme égale à la n“”“ puissance du carré, c’est-à-dire que «'*= («’)", on peut conclure que toute puissance de degré pair d’une quantité, soit positive, soit négative, est essentiellement positive.

Ainsi

(± ^téléc)' = -V- iGa*i'’c*.

Comme d’ailleurs une puissance do degré impair (an -h i) est le pro- » duit d’une puissance de degré pair an par la première puissance, il s’ensuit que toute puissance de degré impair d’un monôme est affectée du même signe que le monôme.

Il est évident, d’après cela : 1“ que toute racine de degré impair d’une quantité monôme doit être affectée du même signe que la quantité.

Ainsi

y' -t- 8n' = an, v^ — 8n*= — an, y — 'iia”b* — — 'la’b.

a” Que toute racine de degré pair d’un monôme positif /leut être affectée indifféremment du signe -t- ou du signe — .

EXTBACTION DES RACINES DES QUANTITÉS ALGÉBRIQUES. a9<)

Ainsi

sJ6ui'b'‘ = ±"iab', y' Gjj «'' = ± 2

3" Que toute racine de degré pair d'iw monôme négatif est une racine impossible; car il n'existe aucune quantité qui, élevée à une puissance do degré pair, puisse donner un résultat négatif. Ainsi y — « , ^ — b, ^ — c sont des symboles d’opérations inexécutables; ce sont des expressions

imaginaires comme \^ — a , f— b, [P'oir n° 83.)

Considérons actuellement les polynômes.

ICO. Nous avons déjà vu comment on élève un binôme a: 4- n à une puissance de degré quelconque; mais il peut arriver que les termes du binôme soient affectés do roeflicionls et d’exposants.

Soit proposé, pour exemple, de développer (2«* -+- 3oô)’; posons pour le moment 20’ = jr, "iab =y\ il vient

{2a*4- "iaby — (x = x’ 4- Ix'y -t- Sx/’-v » ’.

Remettant actuellement 20’ et 3«ô au lieu de x et de/, on a

3«ô)’= (2(j')=H- 3{2«=)’.(3«ô) 4- 3(aa’).(3ai)>4-(3flô)’;

ou, effectuant les calculs d’après les règles du n° 158 et de la multiplication des monômes,

(2«’4- ^abY- 8n‘4- 3Gn‘ô-t- 54«'ô’h- ^7r^‘b\

On trouvera de môme (4fl’ô — Zabc)'

= (x 4- yY ~ x' -t- -I- üx'/'-:- ^xy'+y

— (4n’ô)‘— 4(4«’ôj’( — 3abc)-i- 6(4«’ô)’(— 3flôr)’