fl’^)( — 3aAr)’-(- ( — 3aic

aSCfl’é'— 768a' i'c 4- 864a'ô‘c’— 432a‘i'c’4- 8ia'ô'c'.

(Les signes sont alternativement positifs et négatifs.)

Soit maintenant à développer (x 4-/ 4- zf’, posons d’abord x 4- r = a; il vient

(h -h i)”— lé-h zir -r- 3a’«-4 3’,

ou, en remplaçant n par sa valeur x n- r,

a3o chàpitbb v.

ou, développant de nouveau les calculs indiqués,

( J -t-/ z)’ = -i- I 3x’z -t- 6.rfz -i- 3,r’s

^3xz’- 3/z’ - z’.

Ckîlte expression se compose d(>s cwAc.t tics trois termes, plus des triples produits des carres de chaque terme /tar les premières puissances des deux outres, plus du sextuple protluit des trois termes. Celle loi serait (80) facile à vériBer pour un polynôme de plus de trois termes.

Pour appliquer la formule précédente au développement du cube d’un trinôme dont les termes auraient des coelBcienls et des exfxisanis, il faudrait, comme pour les binôme.s, désigner chaque terme par une .seule lettre, développer, puis remplacer par leurs valeurs les lettres introduites, et effectuer tous les calculs indiqués.

On trouvera par ce moyen, tout calcul fait,

(an’ — ^ah -+-3Ô’)’

— 8n* — 480*0 i3ao‘ô’ — aoSn’fr’ 1- i^6n’h' — io8ni* aji*.

On développerait par des procédés analogues la puissance quatrième, cinquième, etc., d’un polynôme quelconque.

ICI. Passons à l'extraction des racines do degré quelconque des polynômes.

Appelons P le polynôme proposé, m le degré de la racine à extraire ; cl concevons ce polynôme ordonné par rapport aux pui.ssances descendantes d’une mémo lettre a. Désignons d’ailleurs p;ir x -t- v -e z -i- . . . la racine cherchée, que l’on peut également supposer ordonnée par rapiM)rt à a.

En élevant x -t-jp -i- zs-, .. à la m'""'" puissance, et regardant pour le moment / z -4-. . . comme no formant qu’un seul terme, on aura

P ou (x-f-/-HZ-4-...)'"=- x"- Z-r-, ..)

Or il est bien évident d’abord, d’après les principes de la multiplication algébrique, que le terme x" du second membre de celte égalité doit renfermer un exposant de a supérieur à celui d’aucun des autres termes de ce second membre, et ne peut se réduire avec ceux-ci. Donc x" est égal au terme de P, alTecté du plus fort exposant do la lettre a; donc, si l’on extrait la racine /ti*“ du premier terme de P, on obtiendra nécessairement le premier terme x do la racine.

Dicii --^byCoogli

EXTRACTION DES RACINES DES QUANTITÉS ALGÉRRIQDES. 33t Retranchant x" de P, et appelant R le reste, on trouve R ou P — x"= Z -H « +. . .)

nouvelle dans le second membre de laquelle le terme ne

pourra subir de réduction avec les autres.

En eflet les termes y, , qui font partie des expressions af-

fectées de parenthèses, renfermant respectivement un exposant de la lettre a plus fort que les autres termes des expressions corre.spondantes, il suffit de faire voir que le terme ;hx” 'j contient un exposant plus fort de la lettre a que le terme général (dont il est d'ailleurs inutile de con-

sidérer ici le coeflicient).

Mais en comparant les doux quantités

et

que l'on peut mettre sous la forme

x?^y.x*”‘ et

on voit qu'elles ont un facteur commun, et que des deux facteurs non communs, le premier contient a avec un plus fort exposant que le

second. Donc le terme m.tf'-'r ne peut se réduire avec le terme en et, à plus forte raison, avec les autres termes.

Ainsi le terme mûc“~' r est égal, sans réduction, au terme de R affecté du plus fort exposant do la lettre a; et si l'on divise le premier terme de R par mx^', on aura nécessairement pour quotient le second terme j do la racine.

Retranchant do P la puissance de x -i- j-, et désignant par R' le reste de cette soustraction, on démontrera, comme précédemment, que le premier terme do R', ou do P — (x-t-j)”, représente la valeur do Ainsi, en divisant ce premier terme par mx"-', on aura le troisième terme de la racine, et ainsi de suite.

De là résulte le procédé suivant :

Après avoir ordonné le polynéme P par rapport à l’une des lettres qui y entrent, extrayez la racine du premier terme de ce polynôme; vous obtenez ainsi le premier terme de la racine. Retranchez deV la m‘^ puissance de ce premier terme; puis écrivez au-dessous de la racine trouvée m fois la ( — i puissance de cette racine.

Divisez ensuite par cette dernière expression le premier terme du reste obtenu; vous obtenez ainsi le second terme de la racine.