CHAPITRE V

Formez la ni'""' puissance de ta somme des deux termes déjà trouvés à la racine, puis soustrayez de P cette m'""‘ puissance.

Divisez le premier terme du nouveau reste par ni fois la (m — i j**"* puissance du premier terme de la racine; vous obtenez ainsi le troisième terme do la racine ; et ainsi do suite.

11 est facile d’appliquer ce procédé aux c.as particuliers de l’extraction de la racine 3', 4'i 5'.

,V. Jl. — On pourrait, à la rigueur, se dispenser d’ordonner d’abord le polynôme ; mais alors il faudrait modifier l’énoncé du procédé, ainsi qu’on l’a fait pour la division. [Foir le n° 27.)

CALCUL DES KADICAUX.

1Ü2. Lorsque la quantité monôme ou polynôme dont on demande une racine d’un certain degré n’est pas une puissance parfaite, on no peut qu’indiquer l’opération, en faisant (2) précéder du signe / la quantité proposée, et plaçant en dedans de ce signe le nombre qui marque le degré de la racine à extraire. Ce nombre s’appelle Yindice du radical.

Souvent, on peut faire subir à X expression radicale quelques simplifications fondées sur un principe analogue à celui du n° 84 ; c’est que la ra- ^ cine rF““ d'un produit est égale au produit des racines /i""" des différents facteurs.

En termes algébriques,

^abed. . . = X y ô X Je X \7l. . . .

En oITot, élevant chacune do ces deux expressions à la n'""' puissance, on trouve, pour la première,

( f abed. , . — abed. . . ,

et, pour la seconde,

( Jn X Jô X Je. . .) = ( Ja)" (Jô)" (Je)". . . =r abed. . . .

Donc, puisque les n*™" puissances de ces expressions sont égales, les expressions doivent l’ôtre elles-mêmes. (Forez n° 467.)

Cela posé, soit l'expression J i^a'b‘c^, qui ne peut être remplacée par un monôme rationnel, puisque 54 n’est pas un caibe parfait et que d’ailleurs les exposants de « et c no sont pas divisibles par 3 ; on a

V j4«’tr’c‘= yj -ly a' b^y ■suc' ’inby'sac'.

Digiti.:--::

hv Go‘

De même

calcul des radicaux.

y/8«’= 2 y/n’, y 48n’4*c*= 2nA’cÿ3nc’,

^i>j2a’ic“-: y'64n'f'’x y3nZi= aoc’ÿ'inA.

Dans les expressions 3ah^2ac’, 2^n', 2nb^c!/ 3nc’, les quantités placées en avant du radical, auquel elles servent do multiplicateurs, sont appelées les coefficients du radical,

163. Le principe démontré (13S) donne lieu à une autre espèce de simplification.

Que l'on ait, par exemple, l'expression radicale v4<7. Comme, en vertu

de ce principe, y'4a’= Vv/4"’, et que la quantité soumise au radical y/ est un carré parfait, on peut effectuer cette extraction de racine carrée, ce qui donne

De même

y3ün’6'= \/üab.

En général, Vyri"= 'y'n; c’est-à-dire que, lorsque l'indice d’un

radical est multiple d’un certain nombre «, et que la quantité sous le signe radical est une puissance exacte, on peut, sans changer la valeur du radical, diviser son indice par n et extraire la racine n""“ de la quantitif sous le si^ne.

Cette proposition est l’inverse d’une autre non moins importante, qui consiste en ce que l’on peut multiplier l’indice d’un radical par un certain nombre, pourvu que l'on élève la quantité sous le signe à une puissance d’un degré marqué par ce nombre.

Ainsi y'« = '"ÿa". En effet, a est la même chose que y'a"; donc

Ce dernier principe sert à ramener deux ou plusieurs radicaux à avoir le même indice, ce qui est souvent utile.

Soient, par exemple, les deux radicaux l/sa et ^a b, que l’on veut réduire au même indice.

Si l’on multiplie l’indice du premier par 4, indice du second, et que l'on élève la quantité an à la quatrième puissance; si, de même, on multiplie l’indice du second par 3, indice du premier, et que l'on élève n-t- b au cube, on ne changera pas les valeurs des deux radicaux ; et il

CnAPITBB T.

viendra, par ces opérations,

règle générale. — Piiiir réduire deux ou plusieurs radicaux au même indice, umltipUcz l'indice de cUaque radical par le produit de tous les autres indices, et élevez la quantité sous le signe à une puissance d'un degré marqué par ce produit.

Celte réple, qui a l)caucoup d’analopie avec la réduction des fractions au môme dénominateur, est susceptible de modifications semblables.

Soient, par exemple, les radicaux {/'«, v'Sé, ÿ/W-hlé, que l’on veut ramener au même indice.

Comme les nombres 4, C, 8 ont des facteurs communs, et que a4 est le multiple le plus simple do a-s trois nombres, il suffît évidemment de multiplier le premier par 6, le second par 4, et le troisiemo par 3, jKturvm que l'on élève les quantités sous chaque signe radical aux puissances de degrés manjués respectivement par 6, 4 et 3, ce qui dopne

(/a— ’v«*, v’St' - qa'-i-b^~ ^^(a‘-hb^y.

Ces notions établies, proposons-nous d'exécuter sur les radicaux les opérations de l’Arithmétique, qui sont maintenant au nombre de six, en y comprenant la formation des jruissances et l’extraction des racines.

404. Addition et soustraction des radicaux. — Deux radicaux sont dits semblables lorsqu’ils ont le même indice et que la quantité sous le signe est aussi la même.

Cela posé, pour ajouter deux radicaux semblables, ou pour les soustraire l'un do l'autre, il faut opérer simplement sur leurs coefficients, et placer la somme ou la différence, comme coefficient, en avant du signe radical commun.

Ainsi

3t'é-+-2v'6== Sj/Ï, ^’ijb-iMb-'^b,

3a{/7) — ici/ 1) - (3o;’rac) y A.

Souvent deux radicaux ne sont pas d'abord semblables ; mais ils le deviennent lorsqu’on leur a fait subir les simplifications des 0““ f(!2 et 463. Par exemple,

l/iSalé-t- bl/jbu — ^bl/ia . bbl/ 'ia ~ ç)bl/3a\

-!- i6a‘ — y^é'n- lalé ia\/b ia — b l/b s- ia -- — b)l/b-t- in-,

Z\/ llj la ~ ‘il/iu llj la bl/ia.

Digiti.ît'j l:y Goojjlt

CAtCDL SSS HADICADX. 235

Si les radicaux ne sont pas semblables, on ne peut qu’indiquer l’addition et la soustraction, en interposant les signes + et — .

^6J. Multiplication et division. — Considérons d’abord le cas où les radicaux ont le même indice.

Soit à multiplier ou à diviser par Je dis que l’on a X^l) — ^ab, et v'n : v'ê =

En effet (162), si l’on élève y'o x et "iab ù la n'”” puissance, on trouve également ah pour résultat; donc ces deux expressions sont égales.

De même

deux expressions sont égales.

D’où l’on voit que : Pour multiplier ou diviser l’un par l'autre deit.r radicaux de même indice, il faut multiplier ou diviser l’une par l’autre les deux quantités sous le signe, et affecter le résultat du signe radical commun. S’il y a des coefficients, on commence par opérer séparément sur ces derniers.

Ainsi

ou simpliffant,

" y~cd~ ’

3rt y Bu’ X ai V - ùab ^iia'c lan’èv^ac, l/a‘h'-¥-l>‘ , f)ihra‘té-s-b') , , /7éT~b‘

- V"a— v'.-nrzn ■

Si les radicaux ne sont pas de même indice, il faut les y réduire (163), cl opérer comme il vient d'être dit.

Par exemple,

3/7 J'Z bb \/ic ~ ibab '\j6b'c‘.

166. Formalion^es puissances et extraction des racines. — Comme on a

{"ijaf = "!ja X 'v'a X "ija — . . . = ^a“,

rflAPlTRE V.

?.3fi

d'après la règle qui vient d'ètre établie pour la multiplication, il s’ensuit que : Pour élever une quantité radicale à une puissance donnée, il faut élever à cette puissance la quantité sous le signe, et affecter le résultat du signe radical avec son indice primitif. S’il y a un coefficient, on élève séparément ce coefficient à la puissance donnée.

Ainsi

(v'4«')’= v'lüo“— iflyVi-;

(3 y/ 2rt)* 3‘ = 243 V 3a î=: 486fl v^4'’<*.

lorsque l’indice du radical est un multiple de l’exposant de la puissance que l'on a à former, on peut simpliûcr.

Soit, par exemple, y' a« à élever au carré.

Remarquons que (133) y^aa = sj^ia.

Or, pour élever cette quantité au carré, il suffit de supprimer le premier signe radical ; ainsi l’on a

(y/aa / = ^aa.

Soit encore y 3é à élever au carré; cette expression revient à VyJè; donc (y 3Â)’ = y/3Ï.

C’est-à-dire que, si l’indice du radical est divisible par l’exposant de la puissance, on peut effectuer cette division, en laissant la quantité sous le radical telle qu’elle était.

Quant à l’extraction des racines, il faut multiplier l’indice du radical par l’indice de la racine à extraire, et laisser ht quantité sous le signe telle qu’elle était.

Ainsi

Vv'3c=:'yaci V^5c = v^5c.

Cette règle n’est autre chose que le principe du n* 133, énoncé dans un ordre inverse.

Si la quantité sous le signe est une puissance parfaite, de même degré que la racine à extraire, il y a lieu à simplification.

Ainsi étant (133) égal à Vy'Sa' réduit à ^^a. De même,

DE LA ML’LTII’LICITÉ DES VALEURS d’uN RADICAL.

Remarques sur les valeurs algébriques des radicaux. — Conséquences qui en résultent dans le calcul de ces expressions.

167. Les règles qui viennent d'èlre établies pour le calcul des radicaux sont fondées principalement sur ce principe, que la racine n'"" d'un produit de plusieurs facteurs est égale au produit des racines do ces différents facteurs; et la démonstration de ce principe repose (162) sur ce que, si les puissances de meme degré de deux quantités sont égales, les quantités sont aussi égales. Or Celte dernière proposition, qui est vraie en tant que l’on ne considère que des nombres absolus, ne l'est pas toujours pour les diverses expressions auxquelles peut conduire l’Algèbre.

Pour vériOer l'exactitude de cette assertion, nous prouverons qu’un même nombre peut avoir, algébriquement, plusieurs racines carrées, plusieurs racines cubiques, plusieurs racines quatrièmes, etc.

Désignons, en effet, par x l’expression générale de la racine carrée d’un nombre a, et par p la valeur numérique ou arithmétique do cette racine carrée ; on a l’équation

x' = a, ou .r’ = pé, do laquelle on tire x = ± p.

D’où l’on voit que, de quelque signe qu’on affecte la valeur arithmétique p, de la racine carrée de a, son carré donne également résultat conforme à ce qui a été dit au n° 8S.

Soit, en second lieu, x l’expression générale de la racine cubique de a, et désignons par p la valeur numérique de celte racine; on a l’équation

j’ = a, ou .td = p'.

Cette é()uation est d'abord satisfaite par jt = p.

Observons maintenant que l’on peut mettre = p' sous la forme

Or on a vu (31 ) que l’expression — /<’ est divisible par x — p, et donne pour quotient exact

x' -f- px p‘ ;

l’équation ci-dessus peut donc être transformée ainsi

[x-p)[x'-ipx-^p>)^o, é<iuation à laquelle on satisfait, soit en posant

X — p — O, d’où X = p,

CBIPITHE V.

soit en posant

x^-i- px p‘ — O, d’où x=—

ou bien,

On voit donc que ta racine cubique de a admet trois valeurs algébriques différentes, savoir

Soit encore à résoudre l'équation

. x*= a ou x'=z pf

[p désignant la valeur arithmétique do ^n).

Cette équation peut se mettre sous la forme

or l’expression x' — p' revient (19) à

donc l’équation revient elle-même à

(x»-^’)(x> , /.») = o; et l’on peut y satisfaire, soit en posant

x’ — p^=o, d’où X = ±: P,

soit en posant

x^-hff—o, d’où X = ± v^— /j’= ±/^ y— I.

On obtient donc ainsi, pour la racine quatrième du nombre n, quatre expressions algébri(]ues différentes.

Proposons-nous do résoudre la nouvelle équation

Or x* — ^ revient (19) à

ainsi l’équation devient

DE LA HULTIFLICITÊ DES VALEURS d’cN RADICAL.

Déjà l’équation x^~ p^—o, résolue précédemment, a donné

P et

Considérons actuellement l’équation

et observons que, si l’on remplaœ, pour le moment, /> par — p/, elle devient

d’où l’on déduit

X = P et X = P \ I >

ou, remettant à la place de p' sa valeur — p,

x^-p et x=-p\ |.

Ainsi l’équation x“— p“= o, et par conséquent la racine sixième de <i admet six valeurs : p, ap, a.' p, — p, — ap, — x’p, en posant, pour simplifier,

a nr ' ^ ^ — •" •

Nous pouvons conclure, par analogie (ce qui sera d’ailleurs démontré par la suite d’une manière plus complète), que toute équation do 1a forme æ“ — <7 O, ovi xf“— pT= O, est susceptible de m solutions différentes; c'est-à-dire que la racine d’un nombre admet m valeurs algébriques différentes.

168. Première Remarque. — Si dans les équations précédentes et les résultats qui leur corresiwndent on suppose comme cas particulier

- I , d’où p ~ i,

on obtiendra les racines carrées, cubiques, quatrièmes, etc., de l’unité. Ainsi I et — I sont les deux racines carrées de l’unité; car l’équation x’ — I = O donno

De môme i,

sont les trois racines cu-

biques de l’unité, ou les racines do x’ — i = o.

CilAriTRE V.

-i-i, — I, H- \/—i, — sont les quatre racines quatrièmes de l’unité, ou les racines de j:* — i =r o.

1U9. Seconde Remarque. — Soit, en général, l'équation

Désignons par p la mdciir arithmétique de lu racine m'"^ de n, ce qui donne p/“— a\ l'équation ci-dessus devient

et si l’on pose x = pr, y étant une nouvelle inconnue, il en résulte

ou, en divisant par p",

>"■ rp I = O.

Ce qui prouve que, connaissant toutes les valeurs do ”'i ou do 1, on obtiendra celle de ”'qa ou do "\/—a, en multipliant p par les différentes racines m^' de -h i ou de — i .

170. 11 résulte de l'analyse précédente que les règles du calcul des radicaux établies pour l’hypothèse où l’on opère sur des nombres absolus sont susceptibles de quelques modifications lorsqu’on opère sur des expressions ou symboles purement algébriques. C’est surtout quand on applique ces règles aux expressions imaginaires que ces modifications sont nécessaires, comme étant une suite de ce qui a été dit au n“ 107.

On demande, par exemple, le produit de y'—" par y/— a. La règle du n” 103 donne

Cette double valeur du produit est une réponse exacte tant que, dans l’expression y/— « x \/—a, les deux radicaux comportent le double signe ±; mais si l’on admet que les radicaux soient de môme signe, comme alors y/— « X y/— rt revient è (y/— «)’, et que, pour élever y/»i au carré, il suffit de supprimer le radical, on a nécessairement

Soit, en second lieu, à former le produit y/— «xy/— é; on aurait, d'après la règle du n° 105,

y/— «Xy/— é = ai.

CAS SIItGCUERS DU CALCUL DBS KADICADX.

Or = ± P (1G7), désignant la valeur arithmétique de la racine carrée de ab ; mais je dis que le véritable résultat doit être — /> ou — dès que l’on considère les deux radicaux v^— a et 1/— b comme précédés l’un et l’autre du signe En elTet on a

a = \/â et ^—b — /ï t/-^ ;

donc

vA— a X ^—b = v'ü v^— 1 X ’/b y/— I = ^ab (y/— 1)’

= y/âib X — I = — y/âé-

On trouvera, d’après ces principes, pour les diverses puissances de

(y/rT)'=vAr7.

(v/r7/=(vA=T)’v/:iT=-/=T.

(y/=T)- = (yC:7r (y/=T)’=-,X

Comme les quatre puissances suivantes s'obtiendraient en multipliant la quatrième, -f-i, respectivement par la première, par la deuxième, la troisième et la quatrième, on retrouverait encore, pour ces quatre nouvelles puissances,

donc toutes les puissances de y/^ forment des périodes de quatre termes.

Soit encore proposé de déterminer le produit de y/— « par y/— é, qui, d’après la règle, serait \j-i-ab, et, par conséquent (1C7), donnerait les quatre valeurs

-r\jab, —^ab, -i-^ttb yA^i, — ÿ/aé y/ — 1.

Mais, pour déterminer le véritable produit, observons que or

{/^xy^=(ÿ/~)’=(vV^y=/^:

donc

y — ax. y — b = ^ab y/— i.

.^ig. B.

a4a cnAPiTRE v.

Appliquons les calculs précédents à la vérification de l’expression

considérée comme racine de l'équation

c’est-à-dire comme racine cubique do i. [Foir n" 168.)

D'après la formule

(a -H é)’ = a’ 3a’é -i- 3ai’-f- b',

on a

(,)>^3(-i)’ y/3-(-3(-il (v/3)’-i- (/^3)’ ” 8

On vérifierait de même la seconde valeur

§ rv. — TaéoaiE des EXPOSA.vrs de natobb ouelconqde. — notions

GÉNÉBALES SDH LES SÉRIES.

171. C’est ici le lieu de faire connaître deux nouvelles notations d’un usage très-commode dans les calculs algébriques : ce sont les exposants fractionnaires et les exposants négatifs ; ils tirent leur origine des règles établies pour l’extraction des racines et la division des monômes.

Quo l’on ait à extraire la racine n’™* de a".

On a vu (158) que, si m est multiple de n, il faut diviser l'exposant m par l’indice n de la racine. Mais si m n’est pas divisible par n, on convient d’indiquer l’extraction de la racine en indiquant la division des doux exposants. Donc

d’après une convention fondée sur la règle des exposants pour rcxlraction des racines des quantités monômes.

( * ) Voir U Note 111 k la fin du Volume.

TUÉOniE QES EXPOSANTS DE NATURE QUELCONQUE. >43

Ainsi

De môme, que l’on ail à diviser <j" par tf, m et n étant entiers et positifs.

On a vu (23) que, dans le cas de m > n, il faut retrancher l'exposant du diviseur de celui du dividende ; ce qui donne

Mais si l’on a <n, on convient de la môme notation oT-* pour, indiquer la division.

Soit P la différence absolue entre n et « ; on a alors

ff*

n = m+p, d’où — = a— = û-<- ;

d’ailleurs, se réduit à piir la suppression du beteur oT commun aux deux termes ; donc

L'expression tr* est donc le symbole d’une division qui n’a pu s’effectuer ; et sa vraie valeur est le quotient de l'unité divisée par la même lettre a affectée de l’exposant p pris positivement.

Ainsi

La notation de l’exposant négatif a l'avantage de conserver une forme entière aux expressions fractionnaires.

De la combinaison d'une extraction do racine et d’une division, impossibles à effectuer sur des quantités monômes, résulte une autre qptation, celle do Vex/iosant fractionnaire négatif.

Soit à extraire la racine /è'"* do ~ •

On a d’abord

^ donc y - î'a-"= o'

en remplaçant le signe ordinaire du radical par un exposant fractionnaire.

Les expressions a"', a " sont donc, d’après Ai conee/i/fonT fondées sur les régies précédemment établies, des notations équivalentes à

CUIPITRE V.

Ainsi l’on peut, suivant les circonstances, remplacer les premières par cellcsHM, et réciproquement.

Comme dans le discours, if s'énonce a puissance p, p étant un nombre

entier positif, de même, par analogie, a" , a « , s'énoncent : a puissance J a puissance — />, a puissance — “î ce qui a engagé les algébristes à généraliser le mot puissance. Mais il serait peut-être plus convenable de n’employer que les dénominations a exposant exposant

— P, exposant — en consacrant uniquement le mol puissance à désigner le produit de plusieurs facteurs égaux à un nombre donne, (f o/r le n*2.)

172. Ces notions sur l’origine et la signiQcalion des quantités affectées d’exposants quelconques étant établies, nous allons démontrer que le calcul de ces sortes do quantités est soumis aux mêmes règles que celui des quantités affectées exclusivement d’exposants entiers et positifs.

Multiplication. — Soit d’abord a* à multiplier par a^ ; je dis qu’il suffit Rajouter les deux exposants, et que l’on a

3 * A.i.1 iJ»

a'x a‘=za'

En effet on a vu (171) que

a‘ = ^a‘-, donc a^xa^=\l(âx^a\ ou bien, effectuant l’opération d’après la règle du n° ICS,

rt^xa’=

Soit, généralement, a " à multiplier par al ; je dis que l'on a

m P m P np~mtj

U " Xa~t^ a '• '/ = « "'/ .

En effet

donc

a " X /17 = t X = 1 7 -— = "ÿa'' = « '-/ .

THfiORIE DES EXPOSANTS DE MATURE QUELCONQUE. a45 Ainsi, régie générale, pour multiplier l’un par l’autre deux monômes afiectôs d’exposants quelconques, il faut, pour chacune des lettres, ajouter les deux exposants; c’est la règle déjà établie (16), pour les quantités affectées d’exposants entiers et positifs.

On trouvera, d’après cette règle,

3a~^b‘xaa

Division. — Pour diviser l’une par l’autre deux quantités monômes affectées d’exposants quelconques, il faut suivre la règle qui a été établie ( 22 ) pour les quantités affectées d’exposants entiers et positifs; c’est-à-dire qu’il faut, pour chaque lettre, retrancher l'exposant du diviseur de celui du dividende.

En effet l’exposant de chaque lettre dans le quotient doit être tel qu’ajouté à celui de la même lettre dans le diviseur la somme soit égale à l’exposant du dividende ; donc l’exposant du quotient est égal à l’excès de l’exposant du dividende sur celui du diviseur.

On trouvera, d’après cette règle.

aH^ : a' ' b‘ = a'’ b

Formation des puis.sances. — Pour élever à la né*"" puissance un monôme affecté d’exposants quelconques, il faut, conformément à la règle du n° midti plier l’exposant de chaque lettre par l’exposant m de la

piih.sance ; car, élever ce monôme à la puissance, c’est former le produit de m facteurs égaux à co monôme; donc, d’après la règle de la multiplication, il faut multiplier chacun des exposants par m.

Ainsi

(n*) = rt ‘ , («V =a’ =

E.xtraction des racines. — Pour extraire la racine d’un monôme, il faut, en suivant la règle du n° 1S8, diviser l'exposant de chaque lettre par l’indice n de la racine.

En effet l’exposant de chaque lettre, dans le résultat, doit être tel que, multiplié par l’indice n de la racine à extraire, il reproduise l’exposant