CHAPITRE V
dont la lettre est affecté dans le monOtne proposé; donc les exposants, dans le résultat, doivent être respectivement égaux aux quotients de la division des exposants, dans le monôme proposé, par l'indice n de la racine. Ainsi
a^b-' =rn^h
Los trots dernières règles ont été facilement déduites de la règle relative à la mBltiplication ; mais on pourrait les démontrer dirortement en remontant à l'origine des quantités affectées d’ex|Kisants quelconques. .
Nous terminerons par une opération qui renferme implicitement les deux précédentes, quant à la démonstration.
Soit a" à élever à la puissance — "î >1 fsul prouver que l’on a
En effet, si l’on remonte à l’origine do ces notations, on trouve que
L’avantage que présente l'emploi des exposants de nature quelconque consiste principalement en ce que le calcul do ces sortes d’expressions n’exige pas d’autres règles que celles qui ont été établies pour le calcul des quantités affectées d’exposants entiers. En outre, ces calculs se réduisent à de simples opérations sur les fractions, opérations avec lestjuelles nous sommes déjà familiarisés.
173. Remarque. — Nous serons, dans la suite, conduits, par la résolution de certaines questions, à considérer dos quantités affectées A'ea-posants inenmmensurahles . Or les règles que nous venons d’établir jour le cas où les exposants sont commcnsurables sembleraient devoir être aussi démontrées dans le cas d’exposants incommensurables; mais obsenons qu’un nombre incommensurable, tel que /3, y'ii, est, par sa nature, composé d’une partie entière et d’une partie d’unité qui no peut être exprimée exactement, mais dont il eu Jtossible d’approcher autant que l’on
• APPLICÀTIOn DB LA POBHDLB DD BIBÔIB, BTC. a4?
veut ; en sorte que l’on peut toujours concevoir le nombre incommensurable remplacé par un nombre fractionnaire exact qui n’cn diffère que d’une quantité moindre que toute grandeur donnée ; et en appliquant les règles au symbole qui désigne le nombre incommensurable, il faut sousentendre qu’on les applique au nombre fractionnaire exact qui le représente approximativement. En déOnitivc, dans les applications numériques, on ne peut se former l’idée d’un nombre incommensurable qu’en le Supposant remplacé par un nombre fractionnaire exact qui en exprime une valeur plus ou moins approchée; et cette approximation n’a pas de limite.
Ainsi nous pouvons conclure que les règles précédentes sont applicables au cas où les exposants sont incommensurables. Elles le sont même, par extension, aux exposants imaginaires.
Application de la formule du binôme à l’extraction des raeines par approximation.
174. Puisque l’on doit étendre au calcul des exposants quelconques les règles du calcul des exposants entiers et positifs, il est assez naturel de penser que la formule du binôme qui sert à développer la puissance d’un binôme (m étant un exposant entier et positif) peut également servir lorsque m est un exposant fractionnaire, positif ou négatif. C’est, en effet, ce que les analystes ont reconnu ; et ils ont déduit do là des conséquences importantes, tant pour l’extraction des racines par approximation que pour le développement des expressions algébriques en séries.
Nous renvoyons, pour la démonstration générale de cette formule, au n" 182, et nous allons dès à présent en montrer l’usage dans l’évaluation approchée des racines de degré quelconque des nombres particuliers.
Mais, avant tout, il est nécessaire de lui faire subir une transformation.
Reprenons cette formule
(x -I- a'f' - xT ^ mnjf~' — m — — — î- «’x""'-<- . . . ,
et mettons le facteur .r" on évidence dans le second membre.
On obtient
(x «)” - x" I I +- m — hm
ou, posant
-I ta t n cé i n
=rx"\ I< i r -I- -
ou bien encore,
cHAPiraB V.
, , -, \ n in — lo* J n — \ %n — \ iP \
\nx7i2/jjr/i3/j 3/1 or J
Si l'on voulail former un nouveau terme, il suffirait évidemment de
multiplier le quatrième par et ainsi de suite.
* et par P puis de changer le signe
17S. Cela posé, soit à extraire la racine cubique de 3i.
Le plus grand cube contenu dans 3i étant 37, faisons, dans la formule (i), /J = 3, X = 37, et /I = 4, cc qui donne
il vient
ou bien, en effectuant les calculs,
Le terme suivant s’obtiendrait, d’après ce qui a été dit ci-dessus, en
, . ' 3ao Zn
ce qui donnerait
^1 ou par ^ et changeant le signe.
On trouverait de même, pour le terme qui suit ce dernier.
35Go 1 1 4
et ainsi de suite.
Mais ne considérons que les cinq premiers termes do la série, et réduisons en décimales. Nous obtenons d’abord, pour les termes additifs.
APPLICATION DE LA FOnMl'LE DU mSÙSIF, ETC.
el pour la somme des termes soustractifs,
aîfin ■
Donc
(Nous prouverons tout à l’heure que ce résultat est exact k moins de 0,00001 près.)
176. Remarque. — Lorsque l'expression d’un nombre est développée en une suite de termes dont les valeurs numériques vont en décroissant indéfiniment, on conçoit qu’en général plus on prend do termes dans la série, plus on approche do la vraie valeur du nombre proposé. Si, on outre, on suppose que les termes soient allcrnalivcmcnt positifs et négatifs, on peut, on s’arrêtant à un terme de rang quelconque, déterminer d’une manière précise le degré d’approximation obtenu.
En effet, soit une suite indéfinie do termes,
a — é-HC — d s- e — f -t-...,
dans laquelle on suppose que «, b, e, d, .. . sont des nombres absolus décroissants, et désignons par x la valeur numérique de cette série.
Je dis d’abord que cette valeur est comprise entre deux sommes consécutives quelconques de termes de la série.
Car prenons au hasard les deux sommes consécutives
n — é -i- c — (•/ -(- e — /, et a — b -r c — d -i- e — f + g.
Considérons la première, et observons ([ue les termes qui suivent — f sont -+-g — A, -h A — l, mais puisque la série est décroissante,
les différences g — k, A — /, . . . sont des nombres positifs; d’où il suit que, pour obtenir la valeur complète do x, il faut ajouter à la somme a — h-t-c — d-r(f — /un certain nombre positif.
On a donc
Quant à la seconde, les termes qui suivent -t- g sont — As- k,~ l -i-m...-, or les différences — A /•, — / -h m, . . . sont négatives ; d’où l’on voit que, pour avoir la vraie valeur de x, il faut ajouter k la somme
CdAPITU T.
une quantité négative, c’est-à-dire diminuer cette somme. Ainsi l'on a
Donc X est compris entre ees deux sommes.
Conséquence, — La valeur numérique do la différence entre ces deux sommes étant g, il s’ensuit que
L’erreur commise lorsqu’on prend un certain nombre de termes pour la valeur de x est numériquement moindre que le terme qui vient après celui auquel on s'est arreté.
Ainsi, dans l’application du numéro précéflent, tous les termes étant alternativement positifs et négatifs, et allant en décroissant à partir du second, on peut en conclure que la valeur numérique de la somme des cinq premiers termes
2^4 ’iS6o
diffère do ^3i d'une quantité moindre que la valeur du sixième terme que
l’on a trouvé (175) égal à — — r- Or cette fraction est, d'après sa ' ' ° 17433922000
seule inspection, au-dessous de — — ; donc î 3i = 3,i4i38à 0,00001
près ; ce que l’on pourrait vériüer par le procédé ordinaire, mais par des calculs plus laborieux que les précédents.
177. Voici en quoi consiste le procédé pour extraire approximativement la racine n‘^ d'un nombre entier N par le moyen des séries : Décomposez N en deux parties fi’ -é q, p étant la racine de N obtenue à une unité près ( 1 53 ) , cf faites, tlans le déccloppcmcnt de J'x -1- « ( 1 75 ), X — fé, a = q. Effectuez les calculs, en vous arrêtant au terme dont le suivant soit, d'après son inspection, inférieur à l’unité de l’ordre décimal qui détermine l’approximation ; convertissez en décimales tous les termes dont vous avez tenu compte, et opérez la réduction des termes tant additifs que soiutractifs.
Cette méthode n’est avantageuse qu’autant que ~ est une fraction assez
petite; car autrement les termes do la série no diminueraient pa.s trèsrapidement, et il faudrait un grand nombre de termes pour donner le degré d’approximation désiré; ce qui entraînerait dans de longs calculs.
On est môme obligé do modifier la marche précédente toutes les fois
que l’on a 7^ < <7 ; car alors
est plus grand que l’unité, ainsi
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APPLICATION DE LA FOBMCLB DC BINÔIIB, ETC. zSl
ue toutes les puissances de qui augmentent de plus en plus numéri-
uement, à mesure que le degré de la puissance augmente.
Soit, par exemple, 5GJe nombre dont on demande la racine 3'“; 37 tant le plus grand cube contenu dans 56, on aurait
X = n = 29 ; d'où
et les termes do la .série augmenteraient au lieu de diminuer. (Nous no parlons pas des coeflicients, qui sont des fractions peu différentes de l'unité.)
Mais observons que l’on peut aussi décomposer 56 en 64 — 8, ou 4’ — 8;
or — ou - est une assez petite fraction.
D’un autre côté, si, dans l’expression de \jx a (174), on remplace a par — «, il vient
\ a ^ n — la’ la— laa — la’ \
n X n x‘ n in 3a x‘ )
Posant donc j: = 64, a = 8, on obtiendra une série de termes qui décroîtront rapidement.
A la vérité, tous les termes, à l’exception du premier, sont négatifs ; et
l’on ne peut appliquer à la série ce qui a été dit (176) sur la manière de
fixer le degré d’approximation que donne la somme d’un certain nombre de termes. Mais alors on tient compte d’un nombre de termes assez grand pour qu’on soit bien assuré que l’ensemble des termes négligés n’inllue pas sur l’ordre décimal auquel on veut arrêter l’approximation.
On pourra s’exercer sur les exemples suivants :
V^3g = yS'A -17 =2,0807 à 0,0001 près,
y/65 = v^64 4- I = 4,02073 à 0,00001 près;
(/ 260 = y 256 4- 4 =4,oi553 à 0,00001 près;
\/ 108 = ^128 — 20 = I ,g52o4 à 0,00001 près (*).
178. Autres applications de ia formule du binôme. — Cette formule sert aussi à développer les expressions algébriques en séries.
(■•) Voir le n® 5 de la première Note placée à la fin du Chapitre Vï.
75a CnAPITBE V.
Soit, pour premier exemple, l’expression ; on a
Posons, dans la formule
il vient
ou, elTectuant les calculs et observant que chaque terme se compose d'un nombre pair do facteurs affectés du signe —,
(i — j)-' = ^ ' = I î s’ + s’-hi'h- 3*
On parviendrait au même résultat en appliquant le procéxlé de la division algébrique (26).
Soit encore l’expression ^ ou 2(1 — i)"’.
On a, en développant (i — i)”’,
OU effectuant les calculs et réduisant,
2(1 — Z)“»= 2(1 -t- 33 -i- Os’-r 103* -I- l53‘-^ . . .).
Prenons, pour dernier exemple, la quantité {^23 — s’, qui revient à ^^^1 et développons En posant, dans la formule (x -i- n)”z= x”-e m«x“-' -1- . , . , x = i, «= — ^3
on a
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