MOTIONS SL'B LES SÉRIES RÉCURRENTES

( j: + n 1" = j:" -i- mnx^' + m — î H- . . . .

Ainsi la formule du binôme est démontrée généralement.

183. Des séries rtciirrenlcs. — Le dévelop|)cmont des fractions algébriques rationnelles d’après la méthode, des coefficients indéterminés donne lieu à des séries d’une nature particulière connues sous le nom de séries récurrentes.

Nous avons déjà vu (179) que l'expression ^ po"'' dé\elop[x;-

menl

tih' nlP

« rt ’

série dans laquelle on forme chaque terme au moyen du précédent, en multipliant celui-ci par — x.

(’aitto propriété n'est pas particulière à la fraction proposée ; elle appartient à toutes les fractions algébriques rationnelles, et elle consiste en ce que, ,

Toute fraction rationnelle en x, réduite en série, donne lieu à une suite de termes dont chacun est égal à la somme al^ébrii/ue d'un même nombre de termes précédents, multipliés respecticement par certaines ipinntités constantes, pour toute l'étendue de la série.

L’ensemble des constantes par lesquelles oh doit multiplier un certain nombre de termes précédents [KUir former un terme quelconque s’appelle \'échelle de relation de la série.

Dans la série précédente, V échelle de relation est

lé

et la série est dite une série récurrente du premier ordre. Soit à développer en série l’expression

a bx ■+■ ex' tt' S- b' X -t- c' d' xê

Posons

a s- bx + ex' a'-r- b'x -t- c'x^ -t- d'x'

= A Bx ■+■ Ex‘-f-. . . ,