NOTIONS SUR LES SÉRIES RÉCURRENTES

On a de même, pour le terme Ex*,

ou bien.

et ainsi de suite.

Donc, chaque terme do la série demandée, à partir du quatrième, est égal à la somme des trois termes précédents, multipliés respectivement

Quant aux trois premiers termes A -f- Bx -t- Cx^, on les obtient en remplaçant A, B, G, par leurs valeurs obtenues ci-dessus.

184. On divise les séries récurrentes en différents ordres; et l’ordre s'estime par le nombre des termes nécessaires pour former un terme quelconque.

La série obtenue dans le numéro précédent est du troisième ordre. En général, une expression de la forme

donne naissance à une série récurrente du ordre, dont l’échelle de relation est

Ainsi, l’expression ^ n~ donne lieu à une série récurrente du pre

a -4- b JC

micr ordre, dont l’échelle de relation est — , x.

L’expression donnerait lieu à une série récurrente du

second ordre, dont l’échelle de relation serait

a bx . .-H- / x”"'

264 CHAPITRE V. — ROTIO^S SUR LES SÉRIES BÊCURREMES.

N. B. — Nous supposons ici que le degré do x soit moindre au numérateur qu’au dénominateur. S’il en était autrement, il faudrait d’abord faire la division en ordonnant par rapport aux puissances ascendantes de X, CO qui donnerait un certain quotient entier jar rapiKirt à jr, plus une fraction semblable à la fraction ci-dessus.

Ainsi, soit I expression ^ =— 5 3 — •

En effectuant la division, on trouve pour quotient — x — 7, et pour fraction complétant ce ([uotient

La propriété énonci'o au n° 183 souffrirait d’ailleurs des modifications, si le numérateur était d’un degré plus élevé que le dénominateur.

Nous reviendrons plus loin sur ces sortes de séries, qui offrent plusieurs questions intéressantes à résoudre.

DES FBOGBESSIONS PAS D1FFÉRE^CE.