THÉORIE DES PROGRESSIONS ET DES LOGARITHMES

& nouveau chapitre se lie naturellement à celui qui précède, tant jarcc qïie le premier paragraphe a pour objet l’examen des propriétés de deux espèces de séries, que parce qu’il offre une application immédiate de la théorie des exposants d’une nature quelconque ; il complète aussi les connaissances algébriques absolument indispensables jKiur l’étude de la Trifpnomélrie et do \ Application de l'Algèbre à la Géométrie.

§ I". — Des progbessio.ns p.vr différe.nce et des progressio.xs

PAR OlOTIENT.

Progression par différence (*).

I80. On appelle progression par différence (ou arithmétique) une suite de termes dont chacun surpasse celui qui le précède, ou en est surpassé, d'une quantité constante (]ue l’on appelle raison ou différence de la progression.

Ainsi, soient les deux suites

La première est dite une progression croissante dont la raison est 3, et la seconde une progression décroissante dont la raison est 4-

Désignons, en général, par a, b, c, d, e, /,... les termes d’une progression i>ar différence; elle s’écrit ainsi

et devrait s’énoncer ; Comme a est à b, b est h c, c est h d, d est à c,.. .; mais on dit simplement, a est à b est à c est h d est h e.. . .

(•) Quoique la plupart des propriétés relatives aux progressions par diffé~ rrnee et par quotient aient été développées dans notre Arithmctiquct nous croyons devoir les reproduire ici, afin de présenter un ensemble complet do ces propriétés.

CBAPITHE Tl.

C’est une suite ÿ éqtiulifférences continues, où chaque terme est à la fois consé(|uent et antùcMcnt, à l'exception du premier, qui n’est antécédent, et du dernier, qui n’est que conséquent.

18G. Appelons r la raison de la profiression , que nous supposerons croissante dans tout ce qui va suivre. (Si elle était décroissante, il suffirait de changer r en — r dans les résultats.)

Cela posé, on a évidemment, d'après la définition de la progression,

h = a + r, c = b -h r = a -h Qir, d = c -h r = a ‘ir,, .

et, en général, un terme de rang quelconque est égal au premier, plus autant île fois la raison qu'il y a de termes avant celui que l’on consUlère.

Ainsi, soient l ce terme et n le nombre total des termes, jusqu'à celui-ci inclusivement; on a, pour ce terme général,

En etfet, soit fait

on retrouve successivement tous les termes de la progression.

Si la progression était décroissante, on aurait, au contraire,

La formule (i) sert à trouver un terme do rang quelconque, sans qu’on soit obligé do déterminer d’abord ceux qui précèdent.

Ainsi, pour trouver le cinquantième terme de la progression

T i.4'7.io.i3 .16.19.. •!

on fait n = 5o, ce qui donne

187. Une progression par différence étant donnée, on peut se proposer de

Déterminer la somme d'un certain nombre de termes.

Soit la progression i a.b.c.d.c.f. . .i.A .1, prolongée jusqu'au terme/ inclusivement; désignons par n le nombre des termes et par r la raison.

Remarquons d’abord que, si x désigne un terme qui en a p avant lui, et / un terme qui en a p après lui, on a, d’après ce qui vient d’Ctre dit, les égalités

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