DES PROGRESSIONS PAR DIFFÉRENCE

(1 OÙ l’on déduit, en les ajoutant

ce qui démontre (|ue, dans toute progression :

La somme de deux termes quelconques pris h égale distance des extrêmes est égale à la somme des extrêmes; ou bien encore, les deux extrêmes et deux termes pris à égale distance de ces extrêmes forment une équidifférence dans l’ordre où ils sont écrits.

Ceci admis , écrivons de la manière suivante la progression au-dessous d’elle-môme, mais dans un ordre inverse :

T a.h.c. . .i.k.lf 7 /./ . i...c.ù.a.

Appelons S la somme des termes de la progression proposée; 2 S sera la somme des termes des deux progressions, et l’on aura, en réunissant les termes par colonne verticale

‘iS = [a -h k) -h (c -i- i) -h..0~h (i n- c) -4- {/• -4- 6) -f- (/ -f- rt) ;

ou bien, comme toutes les parties a -h l, If -h k, c -h i,. , sont égales et en nombre n

donc, enfin, {2)

^ {a-hl)n b — !

c’est-à-dire que la somme des termes dhinc progression par différence est égale au produit de la somme des extrêmes multiplié par la moitié du nombre des termes.

Si, dans cette formule, on remplace / par sa valeur a -4- (« — i) /*, on obtient encore

mais la première expression est la plus usitée.

Applications. — On demande la somme des 5o premiers termes de la progression 7 2 . 9 . 1 6 . 23 . 3o . . . .

On a d’abord, pour le 5o* terme

donc

CnAPITRE VI.

On trouverait de môme, pour le loo' terme

et, |)our la somme des 100 premiers termes

( 2 -4- figS) 100

188. Les formules (i) et (2) renferment cinq quantités, a, r, n, l et S, et, par conséquent, donnent lieu à ce problème général :

Trois rjUcU omjucs de ces riiui <iimntUès étant données, déterminer 1rs deux autres.

Ce problème ,sc subdivise en autant de problèmes particuliers que l’on [leut, avec cinq lettres, former de combinaisons dijférentes 2 « 2, ou 3 «3. Or, on a obtenu (147) pour ces nombres do combinaisons

Faisant, dans ces formules, ni ~ 5, on trouve

ou

et

ou

d’où l’on voit (juc cinq lettres combinées trois à trois donnent le même nombre de combinaisons que cinq lettres combinées deux à deux. (Ce résultat s'accorde avec la con.séqucnce du n“ 150.)

Ainsi , le problème ci-dessus se subdivise en dix problèmes particuliers, dont voici les énoncés ;

Étant donnés :

a, r, n, trouver

ot

rt, r, /,

rt, «, /,

et

et

et

Le premier problème est déjà

résolu, puis

les

deux formules donnent

immédiatement / et S en fonction de a.

r, n. Quant aux suivants, leur

Digllized b>' ^ .l

DES raOGRESSIOKS PAR DIFFÉRENCE. 269

résolution n’offre aucune difficulté; mais nous cngaseons les commençants à les traiter successivement, cet exercice étant très-propre à les familiariser avec la résolution des équations du premier et du second deftré; car (il est bon d'en faire la remarque), bien que les quantités a, r, n, / et S ne soient affectées d'aucun exposant dans les deux formules, on est cependant conduit à résoudre une équation du second degré lors<]uo a et «, ou bien / et /;, sont inconnues; (Kirce que ces quantités entrent h la fois dans les deux équations, et sont multipliées entre elles dans la seconde.

iV. B. — Il est aisé d’expliquer pourquoi, dans ces deux problèmes, la détermination de chacune des inconnues doit dépendre d'une équation du second degré.

Soit, en effet, la progression décroissante

vil. 9. 7. 5. 3.1. — I.— 3.— 5....

On voit que la somme des trois ])remiers termes, aussi bien que la somme des neuf premiers, est égale à 27. Donc, si l’on donnait

et qu’on demandât l et «, on devrait obtenir les deux systèmes

/ = 7, a = 3, et / = — 5, « = 9;

donc la détermination de n, par exemple, doit dépendre d'une équation du second degré.

189. Nous nous bornerons à résoudre le quatrième problème ; c’est le cas où :

Connni-<:sant a, n et l, il s'agit de (lêtcrmincr r et S.

La formule l =z a -t-(n — i)r donne

et la formule S = fait connaître immédiatement S.

De la première expression, r = on déduit la solution de cette

question :

Insérer entre deujc nombres donnés n et b un nombre m île moyens différentiels. (On appelle ainsi des nombres compris entre a et b, et formant avec ceux-ci une progression par différence.)

Pour résoudre cette dernière question, il suffit de déterminer la raison; or, en remplaçant, dans la formule ci-dessus, / par b, et n par (/n -i- 2),

2JO CHAPITRE Tl.

qui exprime actuellement le nombre total des termes, on trouve

ou r