CHAPITRE VI
quatre fois, ou est égal au quart de celui qui le précède, sont dites des
progressions par quotient; la raison est 2 pour la première, et 7 pour la
seconde.
Soient rt, b, e, et, des nombres en progression par quotient ; on l'écrit ainsi
et on l'énonce comme une progression i>ar différence, quoiqu’il y ait cette distinction à faire, que l'une est une suite de différences égales, et l’autre une suite de quotients égaux, où cbaqur terme est à la fois antécédent et conséquent, excepté le premier, qui n'est qu'antécédent , et le dernier, qui n'est que conséquent.
192. Désignons i«r q la raison de la progression (<7 étant > 1 lorsque la progre.ssion est croissante, et < 1 lorsqu’elle est décroissante); on déduit do la définition mémo la série des égalités
b = nq, e = b<i — aq', d = eq = mf, c — dq = aq', ... ;
et, en général, soient / un terme de rang quelconque, n le nombre total dos termes, on a la formule
(i) i = aff-',
au moyen de laquelle on iwut obtenir la valeur d'un terme quelconque, sans iiasser par tous les termes qui précèdent.
Pur exemple, le Imitième terme de la progression
est égal à
De môme, le douzième terme de celle-ci ;
est égal à
193. Soit maintenant proposé de déterminer la somme des n premiers termes de la progression
H n : è ; c ; rf : e ; y ; . . . / ; 4 ; /,
l désignant le terme.
r-ES PROGRBSSIOKS PAR QtOTIEXT.
On a (n" 192) les égalités
h = aq, C^I»1, il = cq, c — itq,,,,, l,z=iq, l=/,qd'ou l’on déduit, en les ajoutant membre à membre,
h “f" C *1“ il C “t“ ■ • • "4~ X" -f“ l ~ ^ H h -4- C "4- il -f- ... -4- i -4“ X ) Y J
ou bien, représentant par S la somme demandée,
S — (I = {S — l]q = Sq — Iq, ou Sf/ — S =4: /(/ — fl ;
donc
c'est-à-dire (pic, pour obtenir la somme d’un nombre déterminé do termes d’une progression par quotient, il faut niulli/jlicr le ilcrnier terme par la raison, retrancher du produit le premier terme, et diviser ht différence par la raison diminuée d’une unité.
Lorsque la progression est dé’croissante, on a y < i , / < n ; cl il convient de mettre la formule ci-dessus sous la forme
fl — Iq
afin que les deux termes de la fraction soient positifs.
Les deux expressions de S deviennent encore par la substitution do fly"‘‘ à la place de l,
et S =
On trouvera, d’après les formules préa''denles :
i” Pour la sonune des huit premiers termes de la progression
H a : 6 : i8 : 64 : . . . : a X 3’ ou 4374. f/ — I a ’
a'* Pour la somme dos douze premiers termes de la progression H64-iG:4:.:i:...:64(l)" ou 64-:rp^ T >56-:
dlg. B.
CUAPITRE VI.
On voit que la difficulté principale consiste à déterminer la valeur numérique du dernier terme, opération très-laborieuse ^lorsque le nombre des termes est considérable.
