L’expression S

peut être obtenue directement d’après la

progression

Reprenons les équations b = aq, c = bq, d = rq, e = dq dont le

nombre est indéfini, et ajoutons-les membre à membre; il vient

ft-f-C-t-rf— C-»-...= («H-6-4-C-1-(/-1- '\q.

Or le premier membre étant évidemment la série proposée, diminuée du premier terme n, a pour expression S — n ; le second membre est égal à q multiplié par la série tout entière, puisqu'il n’y a pas de dernier terme, ou que ce dernier terme est nul, en tant que la série est décroissante à l’infini ; l’expression de ce second membre est donc y S, et l’égaliu' ci-dessus devient

S — a = qS, d’où S = — — •

Et, en clTet, si l’on développe y-— en série, par le procédé do la division, on trouve le résultat indéfini, ci -h aq -t- aq’ -h aq^ -i- . . , , qui n’est autre que la série proposée, lorsqu’on y remplace b, c, d,... par leurs valeurs en fonction de a.

Aiarcmcnt encore. — Soit la progression

H'o : aq ; aq‘‘ ; aq‘‘ ; . . . ,

S = « -4- f77 -H aq‘‘ + aq‘ ■+■ aq* -t- aq* -I- ... ;

et posons

DES PBOGRESSIONS INFIKIES PAR QUOTIENT.

il où, multiplianl les doux membres par </,

I/S = nq + aq^ aq^ -I- nq' -+- nq’‘ -t-

Uetranchons ces deux équations membre à mcmlire, il \ienl

S — qS = a; donc, enfin, S = — - —