Lorsque la série est croissante, l’expression S

ne peut

plus être regardée comme une Ifimlc des sommes partielles} car la somme d'un nombre déterminé de termes étant (193)

la seconde partie

^ augmente de plus en plus numériquement à mesure que N augmente, c'est-à-dire qu’au contraire, plus on prend de termes, plus l’expression de la somme de ces termes diffère numériquement de — - —

La formule S =

est seulement, dans ce cas, l’expression algé-

brique qui, par son développement, donne lieu à la série a -t- aq nq’ aq' -t- . . . .

Il se pré.sento ici une circonstance qui parait singulière au premier abord.

Puisque

est la fraction génératrice de la série, on doit avoir

•J = n -h aq -¥■ aq’ atf aq' -h ... .

Or en faisant dans cette égalité « = i, ly = a, on trouve — ^ — ou — I = I -+- 2 -I- 4 -(- 8 -t- i6 3a

é(|uation dont le premier membre est négatif, tandis que le second semble positif, cl d’autant plus grand que q est lui-méme plus grand.

Pour interpréter ce résultat, observons que si, dans l’équation ci-dessus, on arrête la série à un certain terme, il faudra, pour que l'égalité subsiste, compléter le quotient.

CHAPITMB Tl.

Ainsi, en s'arrêtant, par exemple, au quatrième terme nr/.

1" reste «7

2' -h arj'

3* -1- nq^

4' -H <tq'

a -h nq -t- aq -i- aq

On doit ajouter au quotient obtenu l'expression fractionnaire i ce qui donne rigoureusement

= fl -*-«</ -f- ««’ -(- 07 H — •

Si maintenant on fait dans celte équation exacte a = i, 7 = a, il vient

— i=iFa-t-4-F8 — 16;

égalité qui se vérifie d' elle-même.

En général , toutes les fois qu’une expression en x, que nous désignerons par /(x), et qui s’énonce /ci/ir</ofl do x, est développée en une série de la forme

U -H ix + ex’ -f- r/x* -4- . . . ,

on n’a rigoureusement

/(x) = n -F ix -t- fx’-F (/x’-F. . . ,

qu'autant qu’on conçoit, on s'arrêtant îi un certain terme dans le second membre, la série complétée par une autre expression en x.

Or, lorsque la série est du nombre de celles que l’on nomme comrrgenter, l’expression qui sert à la compléter peut être conçue aussi petite que l’on veut ; et il est permis de la négliger au delà d’un certain terme de la série (*), laquelle fournit alors une valeur approchée de la fonction proposée.

198. Remarque. — Nous terminerons les principes relatifs aux progressions infinies par l’observation suivante ; il résulte de la définition des progressions par quotient (191 ), qu'on peut les regarder comme des séries récurrentes du premier ordre, dont VécheUe de relation est la raison do la progression [voir 184). Ce rapprochement est propre à faire connaître l'origine des progressions prolongées à l’infini. Elles doivent.

(* j Foir, 4 U fin de ce Chapitre, une Note relative à la convergence des séries.