DES PROGRESSIONS INFINIES PAR QUOTIENT

comme les séries récurrentes en général, leur naissance au développement d’une fraction algébrique rationnelle en série. Nous avons donné (195 et 196) les moyens de trouver cette fraction génératrice pour les progressions en particulier. Nous verrons plus loin les moyens de résoudre la môme question pour toutes les séries récurrentes.

199. La considération des cinq quantités 7, //, / et S, qui entrent dans les deux formules (i) et (a) obtenues 192 et 193, donne encore lieu à dix problèmes particuliers dont les énoncés ne diffèrent des énoncés relatifs aux progressions par différence (188) qu’en ce que la lettre r est remplacée par q. Mais nous nous proposerons , comme pour les progressions par différence, de déterminer q et S, connaissant a, l et n.

Or la première formule donne

d’où

en reportant cette valeur dans la seconde formule, on obtiendrait la valeur de S.

L’expression q =

Insérer entre deux nombres donnés a et b un nombre m de moyens proportionnels, c’est-à-dire m quantités formant avec a et b^ considérés comme extrêmes, une progression par qmtient.

Il suffit, pour cela, de connaître la raison. Or le nombre des termes à insérer étant m, le nombre total des termes n est égal à w 4- 2 ; on a d’ailleurs l = b. Ainsi, la valeur do q devient

n-xR

<Ja

fournit le moyen de résoudre cette question :

rt«-M Ib

c’est-à-dire qu’il faut :

Diviser les deux nombres donnés b et a Vun par Vautre, puis extraire du quotient une racine dUtn degré marqué par le nombre des termes h insérer, plus un.

La progression est alors

Ainsi, soit à insérer 6 moyens proportionnels entre les nombres 3 et 384. On a

280 CHAPITRE Vr.

ce qui donne la profrrcjsion

Nous ferons bientôt connaître des moyens plus cxiV'ditifs, dans les appli-

cations numériques, de calculer le nombre exprimé (lar Nous ne nous arrêterons point à démontrer (pie :

•SV entre les termes eonsécutifs d'ime progression pnr quotient , eonsitlêrcs lieux n deux, nu insère un meme nombre de moyens pnqsortinnnels, toutes les progressions ainsi formées eonstituent une progression unique.

La démonstration est analogue à celle du n" d89.

200. Des dix problèmes principaux quo l’on peut se proposer sur les progressions, quatre sont su.sceptibles d'ôtre résolus facilement. En voici les énoncés, avec les formules qui y sont relatives :

1” (7, q, n étant donnés, trouver l et S,

b; — a ^a(tf—\) q—\ q-l ’

2'' n, n, l étant donnés, trouver q et S,