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équation de la forme a^= h, a et b étant des quantités connues.

On appelle ces sortes d'équations équations c.rponentic/ics , pour les distinguer de colles que nous avons considérées jusqu’à présent, et dans lesquelles l’inconnue est élevée à des puissances marquées par des nombres connus.

Occupons-nous donc de la résolution de ces sortes d’équations auxquelles SC rattache une des théories les plus imjiortantes des Mathématiques, la théorie des logarithmes.

§ II. — TlIÉOniES DES Ql-ANTITÉS EXPONENTIELLES ET DES LOGARITHMES. Résolution de l’équation = h.

202. La question consiste à trouver Xcxposnnt de la puissance à laquelle il faut élever un nombre donné n, pour produire un autre nombre donné b.

Considérons d'abord quelques cas jiarticuliers.

Premier exemple :

En élevant 1 à ses différentes puissances, on reconnaît bientôt que 2“= 64, donc .r = G satisfait à l’équation.

Deuxième exemple :

On a pour solution

CHAPITHE VI.

En un mot, tant que b sera une puissanre parfaite du nombre a, x sera un nombre entier, que l’on obtiendra par l’élévation do a à ses puissances successives à partir du degré o.

Troisième exemple ;

En faisant x = a et x = 3, on trouve

a’ = 4, et a’ = 8 ;

d’où l’on voit que x a une valeur comprise entre a et 3.

Posons donc

X = a -J- (x’ est alors > 0.

On a, en substituant cette valeur dans la proposée

a -^ = 0, ou (172) a’xa*'=G; donc a-^ = ->

et, par conséquent,

Pour déterminer x", faisons successivement X* = 1 , x' = a ;

on trouve

OU - < 2 Cl

ou 2 > a.

Ainsi, x’ est compris entre i et a.

Posons donc

x'= i-t- — (x' est aussi > i).

On obtient, en substituant dans l’équation (a) cette valeur de x',

ou réduisant

RÉSOLUTION DE l’ÉQüATION EXPONENTIELLE.

Pour x" = 1 et x' = 2, on a

on et (-) ou — >-•

Ainsi x" est compris entre i et 2.

Soit donc

il en résulte

d’où réduisant (4)

En opérant sur cette équation comme sur les précédentes, on trouverait que X*" est compris entre 2 et 3.

Soit

l’équation en x” devient, toute réduction faite Une nouvelle opération donnerait

Et ainsi de suite.

Rapprochons actuellement les équations

X = I H- -55 jr = 1

nous obtenons la valeur de x sous la forme d’une fraction continue, dont les réduites consécutives seraient, d’après la loi connue (voir ArUlirn., 29* édit., i7i),

a84 CHAPITRE VI.

Or, on sait que, dans une fraction continue, plus on prend do parties * inlégranU'S, plus on approche do la valeur du nombre réduit en fraction continue ; ainsi l’on pourra, par ce moyen, trouver la valeur de x propre à vérifier l'équation (i), sinon exactement, du moins avec tel degré d’approximation que l’on voudra.

l’ar exemple, la réduite ne diffère (y^rilhm., 172) do la valeur de x

que d'une quantité moindre que o** 1 approximation est

encore plus grande; car, en ayant égard à laxéduite suivante, on voit que

l’erreur commise est moindre que > ou La réduite — ne dif-

‘ 5X12 bo 12

fi-re de la vraie valeur do x que d’une quantité moindre que

203. La détermination de x dans l’équation précéiientc suppose que, pour toute équation de la forme rr* = 6, o étant > i, mais aussi peu différent de I que l’on veut, et, au contraire, b étant un nombre très-grand, il csl toujours possible <le trouver deux puissances consécutives de a, rpii comprennent le nombre b.

Pour le démontrer, posons

J étant une très-iietile fraction, et dévelopiwns l’expression -+- ^^ j >

d’après la formule du binôme (118) (h est ici supposé un nombre entier) ; il vient

Or, puisque le second membre se compose de ■ "ne suite de

nombres positifs, il est clair que si l'on fait i -♦- ^ > ô, ec <]ui donne n > A [b — i),

on aura, à fortiori

D’ailleurs, les premières hypothèses n = o, i, a,... ont dû donner d’abord une certaine pui.ssance de a, plus petite que b; donc b est nécessairement compris entre deux puissances consécutives de a. c. o. f. d.

BÉSOIÜTIOK DE i’éqcâtion expo:<extielle. 285

20-i. Cela posé, voici en quoi consiste la méthode générale :

Soit à résoudre l'équation «*=é, en supposant d’abord a et 6>i, mais a < b.

En formant les puissances successives de a, on trouve que b est compris entre a” et ; alors on fait

substituant cette valeur dans l’équation proposée, on obtient

a ^ = b, ou lé'x.a^ =b, d ou 1^1

ou, posant, pour plus de simplicité, -^ = c,

= a (c étant nécessairement < o).

Opérant sur cette équation comme ci-dessus, on reconnaît que x' est compris entre /i' et i; donc

substituant cette valeur dans l’équation en x', on est encore conduit à résoudre une équation de la forme

d‘" = c étant < c, et ayant pour valeur

et ainsi de suite.

La valeur de x se trouve ainsi développée en une fraction continue dont il ne s'agit plus ensuite que de former les réduites; et, en poussant convenablement la série des opérations, on obtient cetto valeur avec tel degré d’approximation que l’on veut; ce degré pouvant toujours s’estimer, [)uis<iu’il est marqué par le quotient de l'unité divisée par le carré du dénominateur de la dernière réduite à laquelle on est parvenu.

205. Remarques. — i' Si , dans le cas do a > 1 et > i, on suppose b < rt, comme on a

(21) et a' = a,

il s’ensuit que x est compris entre o et t, et il faut commencer par poser

Cela revient à faire n =so, dans le calcul précédent.

386 CBIPITHE VI.

1° Lorsque l'on a a > i , mais A < i , la valeur de x est nécessairement <; O, ou négative; ainsi, il faut poser

X = — J dans l’équation a’ — b,

ce qui donne

n-f = b, d’où (171) a’’=

et comme on a ^ > i , on déterminera x d’après la méthode ci-dessus ;

alors la valeur correspondante de x sera égale à celle de Xi prise négativement.

Il en serait de mémo si l’on avait a < i, mais é > i.

Au moyen de ces remarques, l'application de la méthode n’offre aucune difficulté; seulement les calculs, pour donner un grand degré d'approximation, sont assez laborieux.

On peut, au reste, s’exercer spr les exemples suivants ;

x= 2,465 à 0,001 près;

x= 0,477 0,001 près;

x = — 0,25 à 0,01 près;

x= 0,53 à 0,01 près.

On suppose ici que l’on ait converti en fractions décimales les réduites fournies par la méthode.

Conditions eoin que x soit coumensurable.

206. La méthode précédente conduit, tantôt à une fraction continue limitée, tantôt à une fraction continue qui se prolonge à Vinjîni; ce qui donne pour x, dans le premier cas, une valeur commensuralile, et dans le second, une valeur incommensurable.

Cherchons quelle relation doit exister entre les deux nombres donnés a

et b, pour que x soit égal à un nombre commensurable ^ ■

Soient, en premier lieu, o et ô deux nombres entiers; on a l'équation

a" = b, que l’on peut mettre sous la forme Or il est évident que cette égalité ne peut subsister qu’autant que a et ô

Digitize-.: . CiOOglc

RÉSOLUTION DE l’ÉQÜATION EXPONENTIELLE.

sont composés des mômes facteurs premiers; car si l’on supposait dans h un facteur premier qui ne se trouvât pas dans «r, et qu’on divisât les deux membres par ce facteur, le second membre serait un nombre entier, et le premier un nombre fractionnaire, ce qui est absurde. Donc si l’on a, par exemple,

on doit avoir aussi

En substituant ces valeurs dans l’équation (f* = on la change en celleMîi :

Mais cette nouvelle égalité exige que les puissances d’un môme facteur premier soient égales dans Us deux membres; car si elles étaient inégales, en divisant les deux membres par la plus haute puissance, on serait encore conduit à un résultat absurde.

On doit donc avoir séparément

nip — np\ mq — nq' , mr = nr\ ms = ns\ d’où l’on déduit

Ainsi, pour que la valeur de x soit commensurable, il faut et il suffit qtœ a et b soient composés des mêmes facteurs premiers^ et que tes exposants de ces facteurs forment entre eux une suite de rapports égaux.

Lorsque ces doux conditions sont remplies, la valeur do .r est égale au rapport constant qui existe entre les exposants.

Supposons, en second lieu., que a Qi b soient fractionnaires et égaux

^ [on ne saurait évidemment supposer a entier et b fractionnaire,

fl n

ou réciproquement).

L’équation devient

d’où Ir k'" — h'"' fê .

Or, h et h' pouvant toujours être regardés comme premiers entre eux, aussi bien que k et il en est do même de 4'" et 4'"', et 4"*. Ainsi, pour que l’égalité précédente subsiste, il faut que l’on ait séparément //"• = 4'"*= ce qui conduit à des conditions semblables à celles

que nous avons établies ci-dessus, entre les numérateurs et les dénominateurs respectivement comparés entre eux.