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et, si l'on fait

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on obtient

CHAFITBK VI.

c’est-à-dire que, dans riiypothèsc do a < i , tous les nombres sont engendrés avec tes tiiverses puissances de a, dans un ordre inverse de celui qui résulte de l'iiypothèse n > i .

On inrive ainsi à cette consé(lucnco générale : tous les nombres absolus peuvent être engendrés avec un nombre absolu cpiclconque , mais constant, que Von élève à des puissances convenables.

iV. lî. — Il faut toutefois supposer a dijfercnt de l’unité, car on sait que toutes les puissances de i sont égales à i .

20y. Cela posé, concevons que l'on ait formé une Table renfermant, d’une part, tous les nombres entiers, et à côté de ces nombres, les exjjosants des puissances auxquels il faudrait élever un nombre invariable, pour produire les premiers; on aura l'idée d’une Table de logarithmes.

On appelle, en général, logarithme d’un nombre, l’exi>osant de la puissance à laquelle il faut élever un certain nombre invariable /mur produire le premier.

Le nombre invarialde peut d’abord être pris tout à fait arbitrairement (pourvu qu’il soit > ou < i); mais, une fois choisi, il doit rester le môme pour la formation de la Table entière. On l’ap|>elle, pour celte raison, base du système de logarithmes.

Ouelle (]ue soit la base que l’on a choisie, le logarithme de la base est l’unité, et le logarithme de i est o.

En effet, on a

1° «' = rt, d’où logo = 1,

a” I, d'où logi -O.

On désigne ordinairement, {>our abréger, le mol logarithme par les trois premières lettres log, ou simplement par la première lettre l, que l’on fait ordinairement suivre d’«o point et du nombre que l’on considère.

Voyons actuellement quel rôle peuvent jouer les logarithmes dans les calculs numériques.

210. multiplication et division arithmétiques. — Soit d’abord une suite de nombres/, r',r",r",. . . à multiplier entre eux. Désignons par a la b;ise d'un système do logarithmes (qu’on sujjposo déjà calculés), et iwr x, x', x", .r’’, . . . les logarithmes de

On a, d’aiirès la définition (200), cette suite d’égalités ;

Digiti. ' f! 1-, c looqk

TDËORIE DES LOGARITHMES. 39I

Multipliant ces égalités membre à membre, et appliquant la règle des exposants établie (172), on trouve

rr'/'r'’-- - ^ .

Donc

log/j'y.. . ;= X x'-e . .. log J -i- logr'-f- logj*-^...,

c'est-à-dire que le logtiril/mic d'un produit est égal à la somme des logarithmes des facteurs de ce produit.

Soient, en second lieu, doux nombres, y et y', à diviser l’un jwr l’autre X et x' leurs logarilbmes. On a encore les équations

y'z=ey\

d'où l’on déduit (172)

Donc

log ^ X - x' == log.i- - log/' ;

c’est-à-dire que le logarithme du quotient d'une ilii’ision est égal à l’ejccés du logarithme du dividende sur le logarithme du dmseur.

Conséquences de ces deux propriétés. — Si l’on a une multiplication à effectuer, en prenant dans la Table les logarithmes des facteurs et faisant la somme de ces logarithmes, on aura le logarithme du produit ; donc, en cherchant ce nouveau logarithme dans la Table, et prenant le nombre qui lui correspond, on obtiendra le produit demandé. Ainsi, par une simple addition, on trouve le résultat d'une multiplication.

De môme, sij'on a à diviser un nombre par un autre, il faut retrancher le logarithme du diviseur de celui du dividende, puis chercher à quel nombre corrcsimnd la différence : c’est le quotient cherché. Ainsi, par une simple soustraction, on obtient le quotient d'une tlivision.

Formation des puissances et extraction des racines. — Soit, en général,

un nombre y à élever à la puissance • En désignant toujours par « la

base, et |>ar x le logarithme de y, on a l’équation

d'eù, élevant les deu,x membres à la puissance

Donc