CHAPITRE TI

log^" =x= -logj-;

(•’cst-à-dirp <1110 le logarilhmc d'une puissance quelconque d'un nombre est égal au produil du logarillime du nombre /Hir l’e cposnnt de la puissance.

Soit, comme cas particulier, « = i; il en résulte lop/"= /« log/,

éq\ialion susceptible d'un énoncé analogue au précédent.

Soit m = - ) n étant un nombre entier quelconque; il en résulte

logjt» ou logJ>-= - log^;

c’est-à-dire ([UC le logarithme d'une racine de degré quelconque d’un nombre est égal au quotient du logarithme de ce nombre divisé par l'indice de la racine.

Conséiptence. — Pour former une puissance quelconque d'un nombre, il suffit de prendre le logarithme de ce nombre dans la Table, de le multiplier par rcxjiosant do la puissance, puis de chercher le nombre correspondant à ce produit; on a ainsi la puis.sance demandée.

De même, [lour extraire une racine, il suffit do diviser le logarithme du nombre proposé par l'indice de la racine, puis do chercher à quel nombre correspond le quotient; on a la racine demandée. Ainsi, par une multiplication et une division généralement très-simples, on trouve le résultat d’une formation de puissance et d'une extraction de racine, opérations dont les procé-dés ordinaires sont, comme on l’a vu, très-laborieux.

2H. Ixs propriétés qu’on vient de démontrer sont indépendantes du système (wrliculier de logarithmes adopté; mais les conséquences qui en ont été déduites, c’est-à-dire l'u.sage qu'on en peut faire dans les calculs numériques, sup[)osent la construction d’une Table renfermant, d'un cAtc, tous les nombres, et do l’autre, les logarithmes de ces nombres, calculés d’après une base donnée. Or, [wur former cette Table, il faut, comme nous l’avons déjà dit, en considérant l’équation = r, faire passer y par tous les états de grandeur possibles, et déterminer la valeur de x correspondant à chacune des valeurs de r, d’après la méthode du n” 201.

Les Tables dont on se sert ordinairement sont celles dont la base est égale à 10; et leur construction se réduit à la résolution de l'équation 10*=^.

Dis-iizt

TUÉORIE DES LOGABITHMES. 203

En faisant successivement.)- égal aux termes de la suite naturelle ^ 4» 6, . . . ,

on a à résoudre les équations

IO'=l, 10^=2, io'= 3, 10^—4,

Observons d'ailleurs qu’il suffit de calculer directement, d'après la métliode du n” 201, les logarithmes des nombres premiers 2, 3, 5, 7, ii, i3, 17,.. car, tous les autres nombres entiers résultant de la multiplication de ces différents facteurs entre eux, leurs logarithmes peuvent (210) s’obtenir par l'addition des logarithmes des nombres premiers.

C’est ainsi que, 6 étant déconiposable en 2 x 3, on a

log 6 = log 2 -f- log 3 ;

de même

24 = 2’x3; donc log 24 = 3 log 2 -+- log 3.

Soit encore

3tk) = 2’ X 3’ X 5;

log36o = 3 log2 -H 2 log3 -h log5.

E suffisait également de placer dans les Tables de logarithmes des nombre.s entiers; car, en vertu de la propriété relative à la division, on obtient le logarithme d'un nombre fractionnaire en retranchant le logarithme du diviseur de celui du dividende.

212. En supposant déjà construite une première Table de logarithmes, il est facile d'en construire autant d'autres que l'on veut, au moyen de <x;lle-là.

Soient, en effet, « la base d'un premier système déjà formé, ô la base d'un nouveau système à construire; désignons par N un nombre quelconque, par log N et par X ses deux logarithmes calculés d'après les bases n et é ; on a l'équation

d'où, en prenant les logarithmes des deux membres dans le système connu dont la base est a,

X log <1 = log N ;

donc

log N

Ce qui prouve que, connaissant le logarithme d'un nombre dans un pre-

CHAPiTAE VI.

micr üYstème, pour amir le logarithme du meme nombre dans un secoml système, il faut diriser le logarithme du nombre, ealeulè dans le premier système, /uir le logarithme de la noueelle hase, ealeulè aussi dans l’aneien système.

Ainsi lo logarillimo do 4, dans lo syslôme dont la base est 3, a pour valeur los4 et tleux lofraritlmies calculés dans le svs-

lüg3 0-^0 O

tème connu dont la base est lo.

Soient N, N', N',... une suite de nombres, a la base d’un système déjà formé, b celle d’un système à construire; on a la série d'équations

logN I lue A “ lop

logN, X' =

logé

logX',

X'= - — lni>V .

logé'®"' ’

d'où l'on voit qu’une prernière Table étant déjà formée, si l’on veut en construire une nouvelle, il n'y a qu’à midtiplier les logarithmes ilu premier système par la quantité constante

logé'

r,ette quantité constante est ce (ju’on nomme lo nmlule do la nouvelle Table par rapport à l’ancienne.

§ III. — ÜSACE IlES T.VBLES VTI.CAinES.

Les développements quo nous avons donnés en Arithmétique sur les deux problèmes principaux que pre.scrit l’usage des Tables {un nombre étant donné, trouver son logarithme, et réciproquement) nous dispensent d’entrer dans de nouveaux détails à cet égard. Nous nous bornerons donc à reprendre quelques principes qui n'ont pas été démontrés d'une manière assez générale, en supposant d’ailleurs que les jeunes gens aient entre les mains les Tables dt: Callet, qui sont poussées jusqu’à 108000, tandis que les petites Tables no s’étendent pas au delà de 10000.

213. On a déjà vu (207) quo, dans lo système dont la ba.se est 10, il n’y a que les puis.sanoes jiarfaites do 10, telles que 10, 100, 1000, . . . , qui puissent avoir des logarithmes eommensurahles; tous les autres nombres entiers ont des logarithmes incommensurables, quo l’on no peut obtenir qu'avec un certain degré d’approximation. Les Tables de Callet donnent ces logarithmes exprimés en fractions décimales, et exacts jusi]u'au 7' chilTre décimal, inclusivement.

Cela posé, dans l'équation io*-(-j-, faisons

jr=o, I, 2, 3, "i

il en résulte