Les deux premières propriétés du n" 210 donnent
et
log(rt >: 10") — log <7 -f- log 10" = log« //, log — log — log I o" = log a — n\
ce qui prouve que, connaissant le logarithme d*un nombre quelconque, il sujfit, pour obtenir celui il' un nombre lo"* fois plus grand ou plus petit, d* augmenter ou de diminuer de n unités la caractéristique du logarithme donné.
On peut encore conclure que les logarithmes des fractions décimales qui ne diffèrent entre elles que par la position de la virgule ont la meme
■xçfi CHAPItnE VI.
jinrtif firdnuilf ; c'eSt-à-dire que leurs cnrnrlcristiqucs seules snnt differentes.
Ces propriétés (qui sont d'ailleurs toutes imrticulières au système ordinaire de logarithmes) servent de base aux préparations que l'on fait subir aux nombres dont on cherche les logarithmes, ou aux logarithmes lorsqu’on veut obtenir les nombres (pii leur correspondent.
Ainsi, quand on cherche le logarithme d’un nombre entier qui excède les limites des Tables, on sépare d’aliord sur la droite assez de cliilTres pour que la iwrtie à gauche soit un des nombres entiers de la Table ; mais il faut en séparer le moins possible, à cause de la proportion qu’exige l’emiiloi des Tables (*). Avec les petites Tables, on (luit lais.ser quatre chiffres vers la gauche; et avec les Tables de Callet, on doit on avoir cinq.
Quand, au contraire, on veut obtenir le nombre correspondant à un logarithme donné, il faut préparer celui-ci de manière que sa caractéristique soit la plus forte do celles des Tables, c’est-à-dire égale à 3 pour les petites Tables, et à 4 pour les grandes.
213. Des eomplrnwnts arithmétiques. — Il arrive fréquemment, dans les applications, que l’on a à déterminer le résultat d'une opération <mml>oséc de plusieurs additions et soustractions logarithmiques. Or on ramène celte opération à une seule addition par le moyen des compléments arithmétiques.
Le complément arithmétique d'un logarithme est ce qui manque à ce logarithme pour former le nombre lo; en d’autres termes, c’est l’exct'S de lo sur le logarithme proposé.
Ainsi,
comp. 3,4725843 = lo — 3,4"a5843 = 6,527.4 fSy, comp. 2,7325490 = 10 — 2,7325490 = 7,2674510.
Le premier chiffre significatif à droite se retranche sic 10, et tous les autres de 9 ; on sorte que les zéros qui peuvent se trouver à la droite du logarithme doivent rester dans le complément.
IVoù l’on voit qu’un complément peut être formé, pour ainsi dire, d’après l'inspection d’un logarithme ou d’après sa dictée. Cela posé, voici l’usage de ces compléments :
Que l’on ail à trouver le résultat numérique de l’expression
(*) P otr la Kolc il placée à la fin de ce Chapitre, pour le calcul de Verrrvr commise lorsqu’on établit la proportion entre les diirércnces des nombres cl les difiTércnccs des logarithmes.
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l'SAGE DES TABLES VCLGAIRES. 207
/, t", étant des logarillimes, les uns à ajouter, les autres à sous-
traire.
L’expression peut d’abord être mise* sous la forme
r /’h- r .4. (,o — /') (10 - r ) (lo - /•*) - 3o,
ou bien,
/ -e /'-i- comp. /'-t- comp. l” comp. l'" — 3o;
c’esl-à-<lire que, pour avoir le résultat cherché, il faut faire la somme tirs logarithmes additifs et des eomplrments des logarithmes snastraetifs, pais retrancher de cette somme autant de fois 10 fine l'on a pris de compléments.
Par le moyen ordinaire, il faudrait faire la somme des termes additifs, celle des termes soustractifs, puis soustraire la plus (>ctite somme de la plus grande, ce qui entraînerait dans deux additions et une soustraction ; tandis que par celui-ci on n’a qu'une, seule addition à elTcctuer, sauf les opérations qui consistent à prendre les compléments et qui sont trop simples pour entrer en ligne de compte.
210. L’emploi des compléments donne naissance à une forme de logarithmes qui est assez commode dans la pratique.
Soit proposé de trouver le logarithme de
On a
log ^ = log7 — logi5 = log7 -H comp.logiS — 10.
log 7 = 0,84509804 comp. log i5 = 8,82390874
retranchant lo — 0,3309932a
ou bien 1,66900678
Le résultat de l’addition de comp. log i5 avec log-j étant 9,66900678, pour en retrancher 10, on peut s’y prendre de deux manières : ou bien soustraire ce résultat do 10, et affectant le reste du signe — , ce qui donne — 0,33099322 ; ou bien retrancher lo de la caractéristique 9, sans altérer la partie décimale, ce qui donne i ,66900678, c'est-à-dire un logarithme dont la caractéristique seule est négaticc, la |)artic dé'ciraale restant positive.
398 CDAPITRE VI.
Four le distinguer d’un logariltiroo entièrement négatif, on doit avoir le soin de placer le signe — au-dessus de la caractérislique (■*).
Il serait plus clair de l’écrire ainsi ; — i -t- 0,66900678, car voilà sa vérilable signification ; mais l’autre manière est plus abrégée.
On est encore conduit à cette es[>ècc do logarithmes en cherchant le logarithme d'une fraction décimale.
Par exemple,
logo,oo534 = log53.f — 5 — 3,73754126 — 5 =3,73754126.
Nous verrons bientôt ipio l’usage do ces logarithmes offre queUjues avantages sur celui des logarithmes entièrement négatifs.
Observons, pour le moment, que ;
1“ Si l’on avait à déterminer le nombre qui corresiMtnd à un logarithme do cette espèce, la simple addition d’un nombre convenable d'unités à la caractéristique suffirait pour la préparation du logarithme.
Soit, jiar exemple, 3,4-3o563 le logarithme proposé.
En ajoutant 7 unités a la caractéristique, il vient 4,472<’563, logarithme entièrement positif ; et le nombre correspondant s’obtiendrait d’après les règles connues; après quoi, l'on diviserait le nombre par 10000000 ou
par lo’.
a" Si l’on a à multiplier le logaritbmo.. 3,473o563
(lar un nombre quelcon(|ue, 8 par exemple 8
on obtient d'abord [>our la partie décimale 3,7764504
et pour la caractérislique — 24
ce qui donne pour résultat 21,7764504
3° Si l'on a à diviser ce même logarithme par 8, on commence i>ar ajouter à la caractéristique assez d’unités nrjratwcs (lour qu'on puisse en prendre le hiiitii'-nic exactement ; c'est-à-dire qu’on mettra le logarithme 3,4720563 sous la forme
Prenant le luiUièmc de cotte nouvelle expression, on trouve i ,6840070. Dans les numéros suivants, nous verrons l’usage do ces ojiérations. Passons maintenant aux applications.
(*} Celte notation ctitlTTe un peu de l.t notation employée dans notre Àritif rnètitjue; mais nous avons cru devoir adopter ici celle dont l’usage est le plus répandu.
