CHAPITRE VI
rinvcntpur des logarillimcs). Occupons-nous de la formation de ce système, puisqu’il sera facile d'en déduire ensuite tous les autres, soit en donnant à A différentes valeurs, soit en faisant usage de la formule du n“ 212.
Faisons, dans la série (5), x = o; il vient
t^it encore x = i ; il en résulte
.série très-peu décroissante qui exigerait (juc l'on prit un très-grand nombre de termes pour obtenir une approximation suffisante; il faudrait, jiar exemple, prendre les cent premiers pour avoir la valeur de /.a à o,oi près (17G). En général, la série ne saurait donner les logarithmes des nombres entiers, puisqu’on obtiendrait, pour tout nombre au-dessus de a, une série dont les termes iraient en augmentant.
Voici les princi|«li's transformations que les analystes ont effectuées pour conduire à des séries propres à donner les logarithmes des nombres entiers, (jui sont les seuls qu’on doive placer dans les Tables :
Première transformation. — Soit fait, dans la série (5), x
olitient, en observant que l.
En faisant succe.ssivement y= a, 3, 4i 5,.. ., on trouve
Ts sT ~
3a icja
1 oa4 ""
Lv première série donnera le logarithme de 3 au moyen du logarithme dea; la seconde, le logarithme de 4 en fonction du logarithme de 3,. .., et ainsi de suite. Le degré d'approximation pourra toujours être apprécié (176), puisque les séries sont .composées de termes alternativement positifs et négatifs qui diminuent de plus en plus.
Digili. Giinqle
SÉRIES LOGARITnHIQUES. 817
Seconde transformation. — On parvient à des séries beaucoup [dus commodes, [lar le moyen suivant ;
Substituons, dans la série
/.(I-HX) =
— X à la place de x; il vient
d'où en retranchant ces doux séries l'une de l’autre, et en observant
que /.(i + x) — /.{i — x) = /.
l’our (lue les termes du second membre décroissent rapidement, il faut
que X soit une fraction très-pelitc; et, dans ce cas, - — - est plus grand que l'unité, mais en diffère fort peu.
Posons donc | ^ ^ = i étant au moins égal à i); il vient
d'où, en réduisant,
Donc la série précédente devient
/,(. -H a = î 4- 3-(~'qrïj3 + 5-,, V
Cette série donne également la différence entre deux logarithmes consécutifs; mais les termes décroissent beaucoup plus rapidement que dans la série (G).
Soit fait successivement
on trouve
l.'HAPITRE VI.
fl + JL + L+L.4..
fl I 1,1
Soit Z = loo; il en résulte
/. I O I — 1 oo -t î
afzoï)-' ' 5(uoif
série dans laquelle, le lopiritlime de loo étant connu, le premier terme suffit pour donner celui de loi avec 7 chiffres décimaux (*).
Il existe encore des formules bien plus expéditives qui servent à exprimer des logarithmes en fonction d’autres déjà connus ; mais ce qui précède suffit pour donner une idée de la facilité avec laquelle on pourrait construire des Tables.
52G. Les logarithmes népériens étant calculés, il est facile de former un tout autre système.
Par e.xemple, pour former le système ordinaire, il faut (212) mulitiplier
chaque logarithme né|iérien par le module • Ce nombre a été calculé
avec tout le degré d’approximation que l’on peut désirer; et sa valeur en décimales est 0,4342944819. .. 1 c’est le module propre à passer du sj'stème ncjiérien au sy stème dont la base est i o.
Ce module exprime d’ailleurs le logarithme ordinaire de la base du système népérien : car, en appelant e cette base, on a l’éiiuâtion <?'■''•= 10; d'où, prenant les logarithmes dans le système ordinaire,
/. 10 X loge = log 10 = 1 ; donc loge i- i ,43429
Comme les T.ables ordinaires peuvent être déduites do ce qui précède, on peut s’en servir pour déterminer le nombre auquel corres[>ond le logarithme ci-dessus ; et l’on trouve
0,4342944819. loge = log2, 7182818284. . . .
f * ) t'oir la fiole I placée à la fln de ce Cbapilro.
Ainsi
DËYELOPPEMEM DBS SXPONBMTIELLES EN SÉRIE.
Nous allons bientôt parvenir à ce môme résultat par une autre voie.
227. Drvchppcment en série de V exponentielle a' . — La liaison qui e.viste entre les quantités exponentielles et les logarithmes [liaison qui consiste en ce que, a représentant la base d'un système de lojjarithmes, •r est (208) lo logarithme de l'expression «*] nous conduit à chercher s'il ne serait [las possible, de développer tf suivant les puissances de x\ ce ipii donnerait alors le dévelopiiemont d'un nombre en fonction do son logarithme, question inverse de la précédente.
Supposons donc ce développement trouvé ; et soit
(1) <r'= I H- Ax -I- Bj’-t- Cx'-i- Dx*-i- . . .;
si l’on fait x = o, l'équation se réduit à «"= i, résultat exact. .Ainsi, cette forme de développement est admissible.
Pour déterminer .4, B, C, D,. . . , remplaçons x par z ; il vient
(2) n-= I -1- Aa -+ Bî’-t- C.j’-i- l)i‘. . .; retranchant ces deux équations l’imc de l’autre, on a
équation dont h> second membre est divisible par x — i. Ainsi, il faut tâcber de mettre ce facteur en évidence dans le premier. Or on peut mettre (f— tr sous la funne ré[td~‘— i) ; et si l’on remplace, dans la série (i), x par x — i, il vient
rd(o'-‘-i) = n'[A(x-z) - B(x — C(x - 2)’ -^ . . . ].
Substituant donc dans l’équation (3), à la place do n-, la valeur qu’on vient d’obtenir, et divisant les deux membres par x — z, on trouve
n*[A B(x — î) (Cx — 2
Faisons maintenant x = z dans cette dernière équation ; elle se réduit à <f A=:A-i-2Bx-t-3Cx’-t-4 Dx^ 5Ex‘ , ou, remplaçant rd par son développement (i),
A -f- A’x -f- ABx' -i- ACx* -i- . . . = A -t- nBx ■+ 3Cx’-t- 4Dx*-t- ....
