CHAPITRE VI
Él5ilanl sopari^mcnt les cCH’fficients dos raCmcs puissances, on obtient les é-quations
A = A, A’=aB, AB = 3C, AC=4»,---;
d'où l'on déduit
bi loi du dévelopf)cnient est manifeste ; le terme qui, dans la série (i),
en a « avant lui, a pour expression - -•
On voit que tous le.s coefficients B, C, D,. . . sont exprimés en fonction du coefficient A qui reste encore intlétcrminc, c’est-à-dire que la méthode qui vient d'étre suivie ne suffit pas pour le faire obtenir; mais il n’en a pas moins une valeur uni(|ue qu’on trouve par l’artifice suivant ;
On |>eut mettre a‘ sous 1a forme [i -i- (« — i)]', ou b)’, en posant, |K)ur abré^’or, « — i = é. Or si l’on développe (i-r by d’après la formule du binôme, on a
, JT, .r.r— 1 j7.r — i.r — 2,,
(l-i-ô) =i-i — OH ô’h — = — b-
mais en ne tenant compte, dans ce dévelojipement, que de la partie affecté’e de x, il est aisé de reconnaître que cette partie a pour expression
fb b' /;' b' \
d’ailleurs, le coefficient de x, dans la série (i), est égal à A. On a donc
ou bien, en remplaçant b par sa valeur « — 1 ,
— I (rt — 1)’ [a — 1)’ (i7 — iV
On représente ordinairement par k l’expression
ff — I (n — 1)’ (rt -+- 0’
ainsi, substituant k à la place de A, dans les valeurs trouvées pour B, C,
D£tELOPFEIIE»T des EXPOSEKTIELLES EH SÉRIE. 3a I D,. . et reportant ces valeurs dans la série (i), on obtient enfin
tix k'r' /’x’ k'x'
Tel est lo développement de l'exponentielle u‘ en série.
228. Conséquence. — Si, dans cette série, on suppose = i , elle devient
d’où l’on voit que a est exprimé en fonction de k, de même que la relation
, Il — I {n — 1)’ , . , , ,
A = H • ■ • donnait k en fonction do a.
Cela posé, cherchons la valeur particulière de n qui correspond à 4 1 ,
et désignons par c cette valeur particulière; nous trouvons
c = ih 1
série décroissante (*) dont les 11 premiers termes donnent pour somme
2,7182818, à 0,0000001 près.
La comparaison do ce résultat avec lo nombre obtenu (226), pour la valeur de e, base du système né[)érien, semble indiquer que c et e sont identiques. Or c’est ce qu’on peut démontrer immédiatement.
En effet, soit posé dans la formule (4), 4a: = 1, d’où x = elle devient
ce qui donne nécessairement = c.
Prenant les logarithmes des deux membres do cotte dernière égalité <lans le système qui aurait pour base c, on trouve
~ logfl = I, d’où logrt = 4-,
( ’ ) S oir la Note I placée à la fin de ce Chapitre. Alg.B.
3aa chàpitbs ti.
ou, mettant à la place do / sa valeur (227),
loga =
{n — i)’ (rt — i)’ ( — 1 1*
OU bien encore, posant o = i x, d’où a — i = x.
X x’ .r* X* log(.H-x) = ~---.--3 +
Or celte formule est précisément celle qu’on a obtenue (223) pour le développement du logarithme népérien de i -H x.
Donc les nombres c et e sont idcnliijues (*).
229. La formule (4) du (227) peut prendre dilTérenles formes qu’il est bon de faire connaître ici.
Considérons do nouveau la relation n* = c, ou plutôt, o* = e (puisque l’on a r = c), et prenons les logarithmes des deux membres dans un système quelconque ; il vient
7log«=logc, d’où * loge
Ainsi la formule (4) se change en celIcHti
loga X?
/log«Y
/loga\
loge 1.2
\loge/
\lbge/
C’est la forme sous laquelle on présente ordinairement le développement de <f, les logarithmes étant pris dans un système tout à fait arbitraire.
Cas pariiculicr. — i° Le nombre a i>eul Cire pris pour base du système
de logarithmes. Comme on a, dans ce cas, loga = i, et / = formule devient
loge’
la
loge
