lügc

Tel est le dévelop[)ement d’un nombre quelconque en fonction de son* logarithme pris dans le système dont la base est a.

2° Soit le nombre constant e pris à son tour i>our base du système. Comme on a alors loge = i, d’où k = loga, ou plutôt k = /.a, d’après

(*) Voir la Note IV k la fin du Volume.

DÊTELOPPEaSKT DES EXPO^fEHTlELLES EK StUE.

la notation du n" 3â5, il résulte de cette liypotbÈse

a*=i-)-- /.fl — (/.«)’ H — ^—5 (/.û)’-

loprt

3" Enfln, soit posé a = c, ce qui donne nécessairement ou A = 1 . La formule se réduit à

Cette série, qui est la plus usitée, donne le développement d’un nombre en fonction de son logarithme népérien.

Nous verrons, dans le dernier Chapitre, les conséquences que l’on déduit de toutes ces formules. Mais nous pouvons, dès à présent, faire remarquer comment le développement des logarithmes en série se déduit du développement des exjwncnlielles.

D’abord, la relation X = 'l*** réduit à X = La lorsqu’on prend

e pour base du système de logarithmes, donne (227)

fl — I (fl — O’ (n — i)’

, J? JT* X*

/■{«■+• •r) = 7-- + -3 Cette même relation donne ensuite

logrt = X loge;

d’où, en mettant à la place de X sa valeur, et posant encore a = i -t- x,

log{--*-^) = 'o»"(7-7^T-f

Le module inconnu, loge, peut être obtenu facilement (226) dès que les logarithmes népériens ont été calculés.