LES SÉRIES CONVERGENTES

Le développement d’une fonction en série a principalement pour but de donner en nombres approchés la valeur de la fonction, lorsqu’on attribue des valeurs particulières à la variable qui y entre. Mais pour que ce but puisse être atteint, il faut que la série soit du nombre de celles que l’on nomme convergentes. 11 est donc important d’établir les caractères de cos sortes de séries : tel est l’objet qu’on se propose dans cette Note, qui servira ainsi Je complément, tant aux applications que nous avons faites de la formule du binôme à l’extraction des racines (175, 177), qu’au calcul des logarithmes par le mayen des séries.

1. Une série indéfinie est dhc convergente, lorsqu’on peut assigner une limite de l’erreur que l’on commet en prenant les n premiers termes de la série; celte limite doit d’ailleurs être susceptible de devenir moindre que toute grandeur donnée, quand on prend n suffisamment grand.

Il faut avoir reconnu que ces conditions sont remplies pour pouvoir affirmer que la série est convergente.

Par exemple, toutes les séries dont les termes, étant alternativement positifs et négatifs, décroissent continuellement et indéfiniment sont des séries convergentes, puisqu’on a vu (176) que la difTércncc entre la valeur numérique de la série tout entière et la valeur numérique de la somme des n premiers termes est moindre que le (« terme, lequel peut, par hypothèse, devenir aussi

petit que l’on veut pour une valeur do n suffisamment grande.

De même, toute progression par quotient «/écro/wanre à Vinftni est une série

convergente, puisque (195) la différence entre la somme

do tous les

termes cl la somme des n premiers termes est exprimée par - - ■ — » quantité

qui peut devenir moindre que toute grandeur donneie, pour une valeur do t* suffisamment grande.

Un caractère important des séries de la première espèce dont nous venons de parler est que le rapport d'un terme (juelconque à celui qui le précède est une quantité négative, constante ou variable, mais toujours numériquement moindre que I.

Dans les séries do la seconde espèce, le rapport est une fraction positive constante.