ibo 3S
Ainsi, la limite de l’erreur que l’on commet en prenant les 5 premiers termes pour la valeur de la série totale est
En (general, la limite de l'erreur est, pour cette série, le double âu terme qui suit celui auquel on s'est arrête.
5. IS'ous allons actuellement revenir, tant sur les applications numériques de la formule du binôme, que sur les séries particulières qui ont été déduites des séries lo(;arithmiqucs ou exponentielles; et nous ferons voir que toutes Ica séries obtenues rentrent dans les dilftirents cas examines ci-dessus.
D’abord la série générale du 174 étant telle que les termes, 2i partir du second, sont alternativement positif» et négatifs, il faut encore s’assurer si les termes vont en décroissant et peuvent devenir aussi petits que l'on veut.
Or, en désignant par p le rang d’un terme qiieiconquc, 11 est facile de voir que l'on a, pour le rapport de ce terme au précédent,
(p — i)n — • 1 rt , . .
1 a étant suppose < x\
pn X
ce qui prouve que chaque terme de la série est une partie du précédent, plus petite que la fraction marquée par -< Ainsi, les termes diminuant îndcfinimcnt,
la série rentre dans le premier cas du 1 de cette Note.
Dans la série du n** 177, tous les signes sont do mémo termo & partir du second.
Mais le rapport du p^^ terme au précédent étant — j quantité
que l’on peut mettre sous la forme — — 1
-î on voit que ce rapport est constamment moindre que — ; cl de plus, h mesure que p augmente, ce rapport
approche de plus on plus do la fraction qui en est par conséquent la limite
en plus, ou la valeur maximum. Ainsi cotte série tombe dans le second cas du n® 2, c'est-à-dire que la limite de l'erreur commise est la somme d’une progres-
SsS NOTE SUR LES SfiRIES CONTERGENTES .
•ion décroissante ayant pour premier terme celui qui suit le terme auquel on
• arrête, et pour raison le rapport maximum
En appliquant ce principe au 4« exemple proposé n® 177, on reconnaît que les cinq premiers termes de la série donnent la valeur de ^ io8 à moins de 0,00001 près.
En chinerai, on peut démontrer que la série qui représente le développement de ( I -+- Z y* est convergente tant que s est une fraction positive ou nejîatire, m étant d’ailleurs différent d’un nombre entier et positif. Mais cette démonstration, qui n'olTre aucune difticiiUé d’après les principes établis ci-dessus, nous entraînerait trop loin, et nous la projiosons comme exercice.
6. Passons aux séries logarithmiques et exponentielles. La sério
■ir
obtenue (225), rentre dans le premier cas du n<> 1, puisque les termes sont alternativement positifs et négatifs et décroissent indéfiniment.
Quant à la série du mémo numéro
/.(• + l)— Lz = 3 r ^ ; 4- : i . -1»
' ' Laz-t-i d^az-Hi/ a(iz-t-i/ J
on a, pour le rapport de deux termes consécutifs quelconques,
an — 3 I I / I V
3/ï — l (az -t- iJ* (az*4-i)*V n — »/*
ce qui prouve quo le rapport est constamment moindre que
mais
qu’il s'en rapproche do plus en plus à mesure quo n augmente, et qu’il a celte fraction pour limite.
La série se trouve donc encore dans le second cas du n® 2. Le rapport maximum serait ici ^ fraction très-petite si r est très-grand.
( iZ 4-1/
Enfln la série qui donne a* (227) fînit toujours par devenir convergente,
quels que soient a et x, puisque le rapport de deux termes consécutifs est — »
fraction qui a zéro pour limite relativement à l'aecroi.^scmcnt do n.
7. Nous terminerons cette Note par une remarque sur la base e du système népérien.
On a trouvé (228)
Or il est aisé de démontrer : i® quo cette série est le développement d'un nombre incommensurable ; a® qu’elle est convergente, et que, pour chacune des sommes partielles des deux premiers, des trois premiers,... termes, la limite do l'erreur peut être assignée.
NOTE 9ÜB LES StEISS COXTEBGESTBS.
D'âbord e ne peut être un nombre entier, car on a évidemment
Il t lit
— “-TT -+• ■■ -4-. ..<“-4“ —--h
et cette seconde série est une pro(;ression décroissante qui ( 195) a pour somme Vunité.
n suit de là que -h 1 r— est moindre que i, cl, par consé-
quent, que e est un nombre compris entre a et 3.
Je dis, eu second lieu, qu’aucun nombre fractionnaire exact ne peut exprimer la valeur de e.
En effet, soit, s’il est possible, e égal à — » m et n étant deux nombres entiers, et /i </n, mais>i. En poussant la série jusqu’à ce qu’on parvienne aux termes dont les dénominateurs rtuiferment le facteur /i, on aura
ou simplement
en posant, pour abréger,
Cela posé, multiplions les deux membres de l’égalité (a) par i.a.3...n; il vient
Mais le premier membre de l’égalité (3) est évidemment un nombre entier; il en est de même de la première partie, 1 .a. 3, . .//.«, du second membre, puisque tous les termes dont se compose a sont des fractions ayant pour dénominateurs des Bous>muI(ipIes du facteur i.a.3.../i, par lequel on a multiplié a. Donc, pour que l'égalité (3) subsistât, il faudrait que 1 .a. 3... .$ fût aussi un nombre entier. Or cela est impossibb;, car cette expression se réduit, lorsqu’on remplace 6 par sa valeur, à la série
laquelle a évidemment une valeur moindre que celle de la progression
rt -t- I ( « 4- I t « -r I )*
dont la limite (195) est -•
33o NOTE SUR LES SÉRIES COifTERGBICTBS.
Donc, enfliif l'égalité
est cllc-méno impossible, et la base e ne saurait être égale à un nombre cornmensurable.
Le calcul p/écédent peut servir à faire estimer la limite de Verreur que Ton commet en prenant, pour la valeur de e, la somme des n premiers termes de la stirie.
En cQbt, l'erreur commise est marquée par
ou
Mais on vient de voir que la série entre parenthèses est moindre que On a donc
Soit n = 10, ce qui revient a prendre les ii premiers termes dans la série
iH h h on trouve
3(>a88ooo '
Donc 1.1 somme des 1 1 premiers termes ne diffère de la vraie valeur de e que d’une quantité moindre que o,ocooooi. (FoiVIe n® 228.) y. B. — On parvient éjalcmonl h la limite
en appliquant directement à la série (i) le premier cas du n® 3.
Hn effet, le rapport du terme de l.i série an est évidemment
— — » quantité qui diminue de plus en plus à mesure que n augmente. Donc
la limite de Tepreur s'obtiendra (3) en supposant que le rapport — ^ — reste constant a partir du (n terme; cl l’on aura pour limite
1 — y 1 .3.3...(rt— . i) * «H-i
î n-hi I
l.3.3...(n — ft
Ce qu’il fallait trouver.
CALCUL DE l’erreur DSS TABLES DE LOGARITHMES. 33l
NOTE
■cm
LE CAICIL DE l'ERRElR A lAQl'EllB DOA^E IIEI’ l'ElPLOI DE LA PROPORTIOil m PRESCRIT L ISAGE DES TABLES DE LOGARITHIES.
(Vota n* tu et AtirniiTtQrB. a* 16^.)
Pour calculer les logarithmes des nombres entiers cl décimaux qui ne sont pas dans les Tables ordinaires, cl pour revenir de cca logarithmes aux nombres correspondants, on suppose : i® que les différences entre les nombres sont pro. portionnclles aux différences entre leurs logarithmes ; a® que les logarithme^ tnscrits dans les Tables sont tout à fait exacts.
Or CCS deux propositions ne sont rigoureusement vraies ni l’une ni l’autre. Il est donc nécessaire, après avoir fait voir d’abord sur quels princi|>es repose la proposition ci-dessus, de calculer ensuite le degré d'approximation qu’elle fournit et l’erreur qu’elle peut produire, lorsqu’on a égard aux deux causes d'inexactitude dont elle est affectée.
1. Premier pruccipe. — Soient n ct/?-i-i deux nombres entiers consécutifs; la différence A, ou log(n -+- i) — logn, de leurs logarithmes diminue à mesure
que n augmente ; et elle est toujours moindre que la fraction — •
On a, on efTet,
loc(n-4-i)— locn = lo(;^-^^
ce qui prouve déjà que A diffère d’autant moins de log i ou de o, que le nombre n est plus grand.
Si maintenant on fait, dons la formule du n® 223, x =?— » on trouve
A ou log/i -4- =. A ^
série qui donnera la valeur de A avec un degré d'approximation d’autant plus rapide que n sera plus grand.
Comme on a d’ailleurs (22C)
et que la scrie .
n an’
il en résulte nécessai*
CALCUL DB l’bBBBCH
rcment
Soit, par exemple, n = toooo; il Tient
A < — î — <o,oooo5,
eVst-à-dire que la dÜTêrencc est moindre quo la moitié de l'unité de l'ordre du chiffre décimal.
Ceri explique comment, dans une seule page des Tables de Callrtt et h partir de loooo, on a pu placer un aussi grand nombre de logarithmes. Chaque page renferme 6o lignes horizontales, chaque ligne lO logarithmes; et comme il rcstilU) de CO qui vient d'étre dit que les trois premiers chiffres décimaux sont nccessairement communs, m^me à plusieurs dizmnes successives de ]og.*irithme$, il siifiisait d'écrire une seule fois en marge ces trois chiffres, et de placer ensuite h part les quatre derniers, qui correspondent h la variation du nombre.
[ Comme les Tables de Callet s'étendent jusqu'à loRooo, on a placé quatre chiffres décimaux en marge, pour tous les nombres au-dessus de looooo (parce quo l’on a, dans ce cas, A < o,ooooo5), ce qui a permis alors de présenter les logarithmes de CCS nombres avec 8 chiffres décimaux au lieu de 7, sans rien changer ù la disposition adoptée pour les nombres compris entre 10000 et 100000].
