DES TABLES DE LOGABITBIIBS
Cela posé» soit n = loooo ; il en résulte
30000 X 1 oooa 30U0/40000
< o,oooooooo5.
c’est-k-dirc que la diflercncc entre deux diflcrenccs conséculiTCS de lo{;arithroes de nombres au-dessus de 10000 est moindre que ia moitié de l'unité de Vordre du huitième ^chiffre décimal.
Oii voit donc encore pourquoi l'on a pu placer dans les Tables, pour tous les nombres atiHlessiis de 10000, les difTérences entre deux logarithmes consécutifs: c*est que, la variotion d'une différenco à l'autre no portant que sur le neuvième chiffre décimal, et les Tables n'en renfermant que sept, on peut regarder ces différences comme constantes pour un grand nombre de logarithmes.
3. Conséf/uences des kIcux propositions précédentes. — Admettons pour un instant que, pour tous les nombres au-dessus de 10000, h ths accroissements égaux de nombres correspondent des accroissements égaux de logarithmes., ce qui est seiuihlement exact, d’après ce qu’on vient de reconnaître; je dis qu’alors les dijférences des logarithmes sont proportionnelles aux dijférenees des nombres.
En effet, soient n, n -4- 1 deux nombres entiers consécutifs au-dessus de 10000,
n -t- — un nombre fractionnaire compris entre n et n-f-i; on peut toujours
regarder les trois nombres n, n *1- n -4- 1 comme faisant partie d’une pro-
gression par différence, ayant n pour premier terme, — pour raison, n-h —
pour (/I -h ly""' terme, enfin n -f- ^ ou n -t- 1 pour dernier terme; c’est-à-dire que l’on a
Or on a suppost* que les différences entre les logarithmes des nombres entiers sont sensiblement égales; donc, à fortiori, les différences entre les logarithmes
de «, « -4- -î ;i -4--»»»* licuvcnl être regardées comme égales. Ainsi, en dési-
giianl par 3 la différence log^«-4- — log//, ou aura pour les logarithmes qui correspondent aux termes de la série ci-dessus
■î-!og« logrt H- 0 logn -t- a J. . , logn - . . log/iH- 7 J ou log(n -4*1).
De là résulte nécessairement la proportion
(/I -4-1)— n : — n :: (logn -4-70) — logn : (logrt 4- /»«?)— logn,
puisque, en réduisant, on trouve
i:-::7oCpo, ou q \ p ***•!' p-
CALCCL DE L’SRBBÜt
1^ légitimité do la proportion étant établio ponr les cas où les nombres soat très^grand» et ont entre eux une difierencc nu plus égale à 1, nous allons passer au calcul de l'erreur qu'elle occasionne, erreur qui, comme nous l'avons déjà dit, résulte de deux causes que nous aurons à considérer successivement.
4. Calculons d'abord l'erreur qui résulte de l'inexactitude de la proportion, lei Ui^urithmei employas étant supposés rxacts.
Soient n un nombre supérieur à 10000, / son logarithme, /-f- Â celui de n -f>i; soient encore u-^d un nombre compris entre n et /n-ai d son logarithme; d qX m représentant ici des fractions.
(Tous les nombres n, /, A, m sont supposés d'ailleurs rapportés à la mémo unité.)
Cela posé, la quantité x qu’il faut ajouter à I pour avoir le logarithme de n-hd SC détermine (214) par la proportion
lld II d’où X =i dA;
CO qui donne l-i-dl pour le logarithme de taudis que l’on devrait
avoir /-f- w A.
L’erreur commise est donc exprimée par
e = (m — d)\ ou e = (tf — m)A, suivant que l’on a m > ou < </.
De mémo, 1a quantité que l’on doit ajouter à n pour avoir le nombre correspondant à / -h m A, est fournie par la proportion
A : m A :: I Ijt d’où y = m,
CO qui donne n + m pour le nombre cherché, tandis que l’on devrait avoir n-yd. L’erreur commise est donc exprimée par
r'=im — d ou e'^d — m.
D’où l’on voit que, dans les deux cas, rerrour provient de ce qu’on prend Tune pour l’autre les deux quantités m et ti. Ainsi, nous sommes conduits à chercher la dincrenco de ces deux quantités.
Or on a (209) les égalités fondamentales
io' = rt, 10^ ^ ^ = Il -f- 1, 10^"* « -H </;
d’où, divisant la seconde par la première,
ou, multipliant ccllc-ci par la première, membre à membre,
10 ou l.
Développons ^1 -H par U formule du bindme démontrée généralement
DSS TABLES DE LOGABITOIIES. 335
( 182); multiplions le résultat par /i, et retranchons ensuite n de chaque membre de régalité précédente, il vient
Dans cette série, le quotient de la division du terme qui en a r avant lui, par le terme précédent {i*oir lo u® 2 de la Note /), est — ^ ^ quantité
évidcronicnt né{jativc et numériquement moindre que Tunité, puisque l’on a m < I et n > I. Ainsi, les termes sont allernalivcment positifs et négatifs, et décroissent indéfiniment. On a donc
mfi — m) . —
a cim. a > m — ■■ i d ou m — t/ cT
Mais on sait ( 107) que le produit m(i — m) de deux facteurs m, i — m, dont la somme est i, a pour maximum
Ainsi la dernière inégalité se
réduit enfin à m — cf < *
11 est aisé maintenant d’apprécier les deux erreurs r = (m — A, m — pour 1e cas de
ou >10000.
I® On a, eu vertu de rinégalilé précédente,
fioooo ’
et comme on a trouvé
{Note //, n° 1 ) A <
il eu résulte
iCoooo ifi
L’erreur e, étant moindre que le seizième de Tunité de l’ordre du 8^ chiffre décimal, ne saurait porter sur les 7 premières décimales du logarithme cherché, a® On a
c’est-à-diro que, quand on réduit en décimales lo termes =: m, pour l’ajouter à n, l’erreur ne peut porter sur le 4® chiffre décimal; mais on no serait pas sûr de l’exactitude du 5® chiffre C* ).
5. Calculons actuellement l’erreur qui résulte de Vinexaetitude des logarithmes (la proportion étant supposée exacte).
(*) Les calculs qui viennent d’ètrc établis dans ce numéro sont dus, pour le fond, à Bertrand, de Genève.
336 CALCUL DE l'eRBEUR
Pour cela, nous allons, dans co uumero, rapporter let logarithmes tabulaires, ainsi que leurs dijférences, ù runité décimale du 7* ordre, ce qui rcTienl à les rendre tous 10000000 fois plus grands, ou à les regarder comme des nombres entiers. Cette hypothèse n*a nul inconvénient, puisque Ton ne considère, dans la proportion, quo les rapports des dilTercnccs.
De là il résulte <[ue, les logarithmes étant généralement fautifs, en plus ou en moins, d'une quantité qui n pour limite supérieure la moitié d'une unité do* cimale du dernier ordre {Arithmétique , A. D, du n^ 99), cetto limite se t
trouvera rcprcsciitec par
rnEMiËaE olEsnojf. — Étant donné un nombre, déterminer son logarithme. Soit n + f/ un nombre dont on demande le logarithme, n étant la partie en* tière et d la partie fractionnaire; soient, du plus, l, f les logarithmes do n, /i-Hi, tels qu’ils sont fournis par les Tables. Appelons i et 1' les quantités qu’il faudrait ajouter aux lugaritlmies l et V ]>our les rendre exacts, ces quantités pouvant être positives ou négatives, et ayant ^ pour limite (d’après cc qui vient d’èlrc dit).
En supposant la proportion exacte, comme nous le faisons ici, on trouverait que le logarithme de n *4* d est égal u l -s- i, augmenté d’une quantité x déterminée par la proportion
{V ^e)-{i.^i):jc-,
d’où, en posant V — A,
ce qui donnerait
log («H- ) = / 4- < -i- ^/(A 4- 1'— i).
Mais, au lieu do cela, on pose la proportion
i *. d II A : X, d’où 4: = </A ;
puis on ajoute (/A h /, en rejetant même toute la partie fractionnaire du produit <fA, sauf à augmenter le dernier cbiiTrc d’une unité, s’il y a lieu, ce qui
peut occasionner une nouvelle erreur dont la limite est En représentant
cette erreur par /, on prend ainsi / — </A — / pour le logarithme de n 4- Donc l’erreur finale est
E = / 4- « 4- ^/(A 4- — 0 — l — d^ 4-/= 1(1 — d)-^Vd — /.
Si l’on suppose que les trois erreurs /, f atteignent leur limite ce qui
est évidemment le cas où l’erreur totale £ est aussi grande que possible, il en résulte
E = ^(i — </4-<f4-i)=iï
c’est-à-dire que, dans la recherche du logarithme d'un nombre, Verreur prove*
