DES TABLES DE LOGAMTHHES
nant de Vinexactitude des logarithmes tabulaires peut s'élex-er^ soit en plus, soit en moins, jusqu h une unité décimale du 7* ordre^ ou généralement du dernier ordre décimal des logarithmes fournis par les tables que C on emploie,
6. SEC0!n>K QCESTiO!<. — Étant donné un logarithme, déterminer le nombre qui lui correspond.
Soit /-t- ^ un logarithme compris entre / et A désignant toujours l' — It et ^ étant au plus égal à A — 1 .
On prend ordinairement, pour le nombre cherché, n h~ — 1 la fraction ^ étant
tirée de la proportion A:<?::iî^.
Mais d’abord, le logarithme donné, / + étant pousse seulement jusqu’au degre d’approximation des logarithmes tabulaires, est passible d’une erreur
positive ou négative qu’on peut représenter par + 1*, et dont la limite est En outre, les deux logarithmes /, /' peuvent, comme ci-dcssus, être fautifs des quantités positives ou négatives -+- /, -+• 1’, dont la limite est Ainsi la proportion a établir devrait être
ou
A -1- 1' — 1 : 0 -+•<*’- I :: i : .r, d’où y =
ce qui donnerait, pour le nombre cherché,
Donc l’erreur que l’on commet en prenant n -r- — } au lien de cette expression, est représentée par
ou
suivant que l’on a
> ou < -
Premier cas. — Pour obtenir la limite en plus do la diflérence (1), il faut
tâcher d’avoir le maximum de
Or, la quantité i se trouvant à la fois au numérateur et au dénominateur, si l’on SC rappelle n^ 6) que toute fraction augmente de valeur quand on
ajoute un même nombre à ses deux termes, il s'ensuit qu’on obtiendra d’abord
le maximum de la fraction ci-dessus en posant -is-t -ïqui est la plus
Alg. D,
338 CALCUL DE l'eRBEUR
graoüc valeur quo puisse recevoir celte quantité «, ce qui donne
Actuellement, pour avoir le maximum relatif aux variations de i* et de T , il sufüt de rendre le numérateur le plus grand et le dénominateur le plus petit possible, ce qui sc fait en posant
7. Maintenant il est facile de prouver que des deux cause* d’erreur qui ont etc signalées au cororociicemcnt do cette Note, la seconde est celle à laquelle on doit déllnitivcroenl s’arrêter, sans avoir aucun égard à la première.
En ciïet, dans la question qui a pour but de déterminer le logarithme d'un nombre donnée puisque l'on a reconnu (4) que l’inexactitude de la proportion ne |>out influer sur le dernier chiiTre des logarithmes tabulaires, ou doit considérer la proportion comme tout h fait exacte, et ne tenir compte que de rinexactitude des logarithmes, en observant (5) que le dernier chiure décimal peut être fautif d'une unités en plus ou on moins.
Dans la sbcO!<ob QresTio^t {trouver le nombre auquel appartient un logarithme donné\ la limite de l'erreur qui résulte de l'inexactitude des logarithmes ta> bulaires ne dépendant (C) que de la düTerenco tabulaire S et, par suite, des
Digitizf ' by G( \qle
DES TABLES DE LOGÂBlTnUES.
derniers chilTres de ces lo{;aritbmeSf chiffres sur lesquels l'inexactitude de la proportion n'a aucune influence, il s'ensuit encore que la première cause d'er> reur peut être tout à fait négligée.
8. 11 ne nous reste plus qu'à faire l'application de la théorie précédente aux Tables dont on fait usage ordinairement, c'est-à>dirc aux Tables de Callet.
Paruif RE çcESTio?». — I-a proportion i : :: W x, d'où x = donne (5)
les 7 j>ri*micrs chiffres décimaux, h une unité du 7* ordre décimal près.
Ainsi une somme de logarithmes ou de compléments arithmétiques de logarithmes peut être fautive d'une quantité dont la limite est exprimée )>ar autant d'unités décimales du 7® ordre qu’il y a de parties dans cette somme. De même, si, dans la vue d'obtenir une puissance d’un nombre, ou multiplie son b'ga» rithme par l'exposant de la puissance, le logarithme résultant peut être fautif ^'autant d'unités décimales du 7® ordre qu’il y a d'unités dans l'exposant de la puissance. Mais il n'en est pas de même quand il s’agit d'une extraction de racine, paich que les erreurs qui affectent les logarithmes sont divisées par les indices des racines.
Seconde ocestioü. — La proportion A ; 0 ;; 1 d’où r= —j donne la ra-
leur du nombre cherché, à une fraction près marquée par
Mais comme il est d'usage de convertir — en décimales, voyons à quel ordre
de décimales il convient d'arrêter l’opération.
Pour cela, soit » la puissance de 10 qui doit exprimer le dénominateur de
la fraction décimale obtenue. Observons que, dans la transformation de ^ en
décimales, on s’expose encore à commettre une erreur dont la limite est la
moitié de l'unité de l'ordre du dernier chiffre décimal, c’est-à-dire On doit
donc satisfaire à l'inégalité
— d’où — cl, par conséquent, A > 3*.
Donc A doit être au moins le double de la puissance de 10 à laquelle oo s’arrt'le.
Cela pose :
Il résulte de l'inspection des Tables de Callet que, jusqu'au nombre 31809, la différence tabulaire n’est pas plus faible que 3oo; donc, pour tous les nom-
bies compris entre 10000 et 31809, peut, en réduisant ^en décimales,
poussr r l’operation jusqu’aux centièmes^ et l’on est certain de l’exactitude du dernier chiffre décimal.
Passe CG terme, et jusqu’à tooooo, nombre pour lequel la différence tabulaire est 41» on ne peut compter que sur l’exaclitudc du chiffre des dixièmes, Dc| uis rooooo jusqu’à 108000, comme la diflérence se trouve encore exprimée par 3 chiffres (dont le premier à droite représente des unités du S* ordre), on peut de nouveau compter sur l'exactitude du chiffre des loo*'”*^, puisque celle différence va do 431 à 4o3, nombres plus grands que 300.
34o CklCVL DK l’eKIIEI'R DES TABLES DE LOGARITDIIES.
Les Tables à 7 décimales publiées pur MM. Mirie et Rcynaud ont l’aTanU(^ de doniior» sous un format plus commode, à peu près les mêmes approiima* lions que celles de Callet. Nous n’oserions cependant pas affirmer, à cause de leur peu d’étendue (elles ne s’étendent pas au delà de 10000), que les deux causes d’erreur signalées ci>dessns ne donnenl pas plus d’une unité d'erreur sur lé 7* chilTro décimal, lorsqu’on cherche le logarithme d’un nombre, et plus de deujc unités d’erreur sur U chiffre des millièmes lorsqu’on cherche le nombre cor^pondant à un logarithme. Mais l’emploi de ces Tables, dans leur état actuel, n'en mérite pas moins d’éUe recommandé, en raison de la petitesse de leur format.
TBtORIB GfiBfiRALE DES ÉQUATIONS,
