THÉORIE GÉNÉRALE DES ÉQUATIONS

Introduction. — Les plus célèbres analystes se sont occupés du problème do la résolution générale des équations algébriques d’un degré quelronqueà une seule inconnue; mais jusqu’ici leurs efforLs ont été infructueux par rapport aux équations d’un degré supérieur au quatrième. Cependant les recherches qu’ils ont faites à ce sujet les ont conduits à des propriétés communes aux équations de tous les degrés, et dont ils ont ensuite tiré parti, soit pour résoudre certaines classes d’équations, soit pour ramener la résolution d’une équation donnée à celles d’autres équations plus simples. Nous nous proposons, dans ce Chapitre, de faire connaître ces propriétés, et leur usage pour faciliter la résolution des équations (*).

8 I. — Divisibilité des eoxctions entièhes. — Propriétés générales des

ÉQUATIONS. — Théorie complète du plus grand commun diviseur.

Divisibilité des fonctions entières.

230. Le développement des propriétés dont jouissent les équations de tous les degrés nous conduira à considérer les polynômes sous un point de vue particulier et tout différent de ceux sous lesquels nous les avons envisagés dans le premier Chapitre. Nous admettrons pour cela des expressions de la forme

dans lesquelles m est un nombre entier positif, mais dont les coefficients A, B, C, . . . , T, U désignent des quantités qui peuvent être quelconques, c’est-à-dire entières ou fractionnaires, commensurables ou incommensurables, numériques ou algébriques. Or, dans la division algébrique, telle que nous l’avons exposée (Chap. I"), on a pour but, étant donnés deux /rdynômes entiers par rapport à toutes les lettres et aux nombres particuliers qui y entrent, de trouver un troisième polynôme de même espèce, ejui, multiplié par le second, reproduise te premier.

(’) loir ta Noie V a tft fin du Votume.

34i clumnE vu.

Mais si l’on a deux polynômes

' -t- C.j" -, Tx --U,

qui no soient m'rcssmremrnt entiers que par rapport à x, et dont les cocfficienis A, B, C, A', B', C', ... soient quelconques, on peut se proposer do Iroufer un tmisirme /xi/rnôme, de mémo forme et de même nature que les deux précédents, qui, multi//lié parte seenn/i, reproduise le premier.

Le procédé peur effectuer cette division est analogue à celui do la division ordinaire ; mais il y a cette différence que, dans celle-ci, le premier terme de chaque dividende partiel doit être ejractement divisible par te premier terme du diviseur', au lieu que, dans la nouvelle espèce de division, on divise le premier terme do chaque dividende partiel (c'est-à-dire la partie affectée de ta plus haute puissance de ta lettre principale) par le premier terme du diviseur, sans s’inquiéter si le coefficient du quotient partiel corrcs|>ondant est entier ou fractionnaire, et l’on continue l'opération jusqu’à ce que Pon obtienne un quotient qui, multiplié par le diviseur, anéantisse te dernier dividende partiel, auquel cas la division proposée est dite exacte ; ou bien, jusqu’à ce que l’on panùcnne à un reste de plus faible degré que celui du diviseur, par rapport à la lettre principale; et, dans CO cas, la division est regardée comme impossible, puisque, en poussant plus loin l’opération, on obtiendrait des quotients dans lesquels la lettre principale serait affectée ^'exposants négatifs, ou entrerait dans le dénominateur; ce qui serait contre la nature de la question, puisque le quotient doit être do mémo forme que les polynômes proposés, c’est-à-dire composé d’un nombre limité de termes affectés d’exposants entiers et /msitifs.

Pour distinguer les polynômes entiers par rapporté une lettre, lalettrex par exemple (les coefllcicnts étant d’ailleurs quelconques), des polynômes ordinaires, c'est-à-dire des polynômes entiers par rapport à toutes les lettres et aux nombres particuliers qui y entrent, nous conviendrons de désigner les premiers sous la dénomination de fonctions entières de x-, et nous appellerons diviseurs rebuifs de ces polynômes d’autres fonctions entières de x qui les divisent exactement dans le sens que nous venons d’établir.

231. Il résulte do ces définitions que, si une fonction entière a pour diviseur relatif une autre fonction entière, le produit de ce diviseur par un facteur queb onque indépendant de la lettre principale est encore un diviseur relatif de ta première fonction.

EITISIBILITfi DES FONCTIONS ENTIÈRES.

En efTcl, supposons que l’on ait

= k’jf -+- B'x”-"-' + . . . -h ü'.

Soit K un facteur quelconque indépendant de on a nécessairement

K (A X* -î- B X* -f- . , . -r- Ij ) K K K

Or le second membre de cette identité est une fonction entière de x ; donc K(A'x-- B'x-'^-..) est diviseur relatif de Ax"-*- Bx""‘ + . . . .

Cela revient à dire que, tout diviseur relatif du produit

K(Ax’"-^-Bx"-'^-...^-V),

K étant un facteur indépendant de x, doit être aussi un diviseur relatif de la fonction Ax"-f- Bx""' -i-. ...

Cela posé, nous allons d'abord établir sur la divisibilité des fonctions entières quelques principes analogues à ceui qui ont été démontrés, en Arithmétique, sur les nombres entiers, parce qu’ils nous seront trèsutiles dans la recherche des propriétés relatives aux équations.

232. Preuier principe. — Toute fonction entière px -k- q du premier degré en x, qui dieise exactement le produit F >< F' de deux autres fonctions entières, divise nécessairement Tune d’elles.

Pour démontrer ce principe, supposons que F ne soit pas divisible par px ■+■ q\ nous allons prouver qu’alors F' le sera néces.sairement. En effet, en divisant F par px + q, suivant le procédé ordinaire, on parviendra à un reste qui ne contiendra plus x. Soient Q le quotient de cette division, et R le reste; on a l’équation identique

F =(/^x + fy)Q-f-R, laquelle, multipliée par F', donne

F F - (/jx -H 7)QF'-h RF'.

Or, par hyiiothèse, F x F' est divisible par px -h q ; ainsi le quotient du second membre par px -1- q doit se réduire à une fonction entière de x, ce qui exige que RF', et par conséquent F' (231), soient divisibles par px-^-q.

233. -Co>séquence. — Toute fonction entière, D, du premier degré en X, qui divise exactement le produit F x F' X F' x . . . de m fonctions entières, divise nécessairement l’une de ees fonctions.

CnAPITRE TIl.

Car si D ne divise pas' F, il doit diviser le produit F' x F' x . . . , en vertu de ce qui vient d'etro dit; s'il no divise pas F', il doit diviser F" X F" X ... ; et ainsi de suite. D'où l'on voit que D, ne divisant aucun des (ffi — i) premiers facteurs, doit du moins diviser le m‘"“.

Ou déduit de là, comme cas particulier, que D ne peut diviser P sans diviser F (D étant un diviseur relatif du premier degré, et F une fonction entière quelconque).

23t. Second principe. — Soit une fonction entière F, résultant de la multiplication d'un nombre quelconque do fonctions entières F, F", F”,.. . (dont quelques-unes peuvent être égales). Celle fonctinn entière F ne snurail avoir (252) /mur tliviseurs reinlift du premier degré en x que ceux qui entrent dans les fonctions F', F', F",. . . nu (231 ) des produits de ces diviseurs relatifs par des facteurs indépendants de x.

Nous pouvons actuellement passer à l’exposition des propriétés communes à toutes les équations.