PBOPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES ÉQUATIONS

233. Toute équation complète du degré m {m étant un nombre entier et positif) peut, par la transposition des termes et aprè la division des deux membres par le coefficient de xf, être ramenée à la forme

x” P.r" ' -I- 0^ • ■-*- Tx ■+- ü = o;

P, Q, R,. . . , T, ü étant dos coefficients pris dans le sens algébrique le plus général.

Cela posé, on appelle racine de cette équation (97) toute expression, de quelque nature qu’elle soit, c’est-à-dire numérique ou algébrique, léelle ou imaginaire, qui, substituée à la place de x dans l'équation, rend son premier membre égal à o.

23G. Une équation pouvant, en général, être considérée comme la traduction algébrique des relations qui existent entre les données et l'inconnue d'un problème, on est conduit naturellement à ce principe, que toute équation a au moins une racine. A la vérité, les conditions de l'énoncé peuvent être incompatibles ; mais alors on doit supposer que l’on serait averti par quelque symbole d’absurdité, tel qu’une formule renfermant, comme opération nécess;iire, l’extraction d’une racine do degré [>air d’une quantité négative; et il n'en existerait pas moins une expression qui, mise à la place de x dans l’équation, y satisferait. Nous admettrons

PROPRIfiTfS GÊNfiRAlES DES ÉQUATIONS. 345

donc ce principe, que nous aurons d'ailleurs occasion de vérifier, par la suite, pour la plupart des équations (*).

Voici maintenant une nouvelle proposition que l’on peut regarder comme la propriété fondamentale de la théorie des équations.

237. PaEJiiÈRE PROPRIÉTÉ. — Si (t est une racine de l’équation

Qj:""’-!-. . U = O.

le premier membre de cette équation est dicisible par (x — a); et, réciproquement, si un facteur de la forme (x — a) divise le premier membre de la pm/mséc, a est une racine de cette équation.

En effet, essayons la division, et voyons ce qui doit avoir lieu quand >n pousse l’opération jusqu’à ce que l’exposant de x devienne o dans le premier terme du dividende.

(Cette opération est de la nature de celles dont nous avons parlé (230), puisque a, P, Oj - • • sont de nature quelconque.)

x"-^ P.i:”'“'-H0'^“’‘^’"-t-Tx -t-U]

-eQ

Qié" ’

-hT

Pour peu qu’on réfléchisse sur la manière dont s’obtiennent les quotients partiels, on reconnaît, d’abord par analogie, et ensuite par un moyen déjà employé plusieurs fois (31 et 8G), une lui de formation pour les coefficients de ces divers quotients; et l’on peut en conclure : i° qu’il doit y avoir m quotients partiels ; 2° que le coefficient du m‘'”* quotient, c’est-à-dire de x*, doit être

T étant le coefficient de l’avant-dernier terme de la proposée.

Donc, en multipliant le diviseur par ce quotient, et soustrayant le produit du dividende, on obtient pour reste

oT -t- Pn”"' -I- -t- . . . -t- To -t- C.

(*) M. Caucliy a donné, dans ses Leçons h l’ÉeoIc Polyteehnique, une démonstration de cette proposition ; mais nous ne la croyons pas de nature à trouver place dans ces Éléments; d’autant plus que, dans notre opinion, elie n'est pas exempte de quelques objections.

CHAPITIIE VII.

Or, par hypotlièse, n psi racine de IVqualion; donc ce reste est nul, puisqu’il n’est autre cliosc que le résullat de la substitution de « à la place de x dans rtquation; ainsi la tlivishn se fuit exactement.

Réciproquement, si (x — a) est diviseur exact de x"' +- Px" ' le reste n"-r- P<z""' -j- ... doit être nul; ainsi (233) a est racine de l’équation.

238. Remnnjue. — En jetant les yeux sur le quotient do la division effectuée dans le numéro précédent, on aperçoit pour les coefficients la loi suivante : Chaque coefficient s'obtient en nmltiplianl celui qui te pré- . cétle par la quantité a, et ajoutant au produit relui ries coeffrients de l'équation proposée, qui occtqie le même rang que te terme du quotient qu'on veut obtenir.

Ainsi le coefficient du 3' terme, a' -t- P« -t- Q, est égal à (« -r- P) o Q, ou au produit du coefficient [iréciHlenl a -s- P (lar la quantité o, augmenté du coefficient 0 du 3' terme de l &iuation proposée. '

Le coefficient du 4" terme serait

(a'-»- Po 0) a "R, ou a’-i- Pa’-t- Qa 4- R.

Nous aurons quelquefois besoin de rappeler cette loi, qui d’ailleurs est facile à retenir.

230. SECo.vnE pnoraiÉTÉ. — Toute équation à une seule inronnue a autant de racines qu’H r a d'unités dans l'eximsant de son degré, et ne peut en amir davantage.

Soit x" -f- P J-""' -r- Qx"'’ -t-...-i-Tx-t-U = 0 l’équation proposée.

Puisque (231!) toute équation a au moins une racine, si l’on désigne par a la racine que l'équation précédente comporte nécessairement, son premier membre est (237 ) divisible par (x — a) ; et l’on a l’identité

Mais en posant

on obtient une autre équation qui a au moins une racine. Soit b cette racine, on a ( 237 )

X" '-P’.r" ■-^... =(x — i)(x"-=4-P’x"->4-...), égalité qui, multipliée membre à membre par l'égalité (i), donne

PROmlÊTËS GÊ^ÊRALES DES ÊQUATIORS. 347

Raisonnant sur le polynôme . . comme sur le précé-

dent, on a encore

égalité qui, multipliée par l’égalité (i), donne (3) Px™'-4-... = (x-rt)(x-é)(x — c)(x"-'-4-...

Remar(|uons maintenant que, pour clwque facteur du premier degré en X, mis en évidence, le degré de x dans le polynôme-quotient diminue d'une imité. Ainsi, lorsqu’on aura fait ressortir {»/ — i) facteurs du premier degré, l'exposant de -r sera réduit à m — {ni — 2). ou 2; c’est-à-dire qu’on obtiendra un polynôme du second degré en x, qui (97) est luiméme décomposablo dans le produit de deux facteurs du premier degré (x — ^) (x — /). Or, comme on aura déjà mis en évidence (ni — 2) facteurs du premier degré, il s’ensuit que finalement on a l'identité