X--S- Px"-' -r- (x -«) (x - ô)(x — f). . .(x - /){x - f

liant le second nirnibre est le produit de ni facteurs du premier degré en X.

Cela posé, puisqu’à chaque diviseur du premier degré en x correspond nécessairement (237) une racine àe la proposée, il s’ensuit que les m facteurs du premier degré x — a, x — b, x — c,. . . donnent, pour la projKisée, ni racines a, b, e,.. .. Donc, etc.

Il résulte d’ailleurs évidemment du princiiic établi (23i), que le polynôme .r" ~ P.r""' . ne peut avoir d’autres diviseurs relatifs du pre-

mier degré que x — o, x — ô, . . . , x — / , x — /, ou le prorluit de l’un de ces diviseurs relatifs par un facteur quelconque indéi>endant de x. Donc l'équation elle-même ne peut avoir pour racines que a, b, c,. .

X, l, qui sont les seules qu’on puisse tirer des équations

X — n = o, X — é = o,..., X — X=o, X — 1 = 0, ou, plus généralement, des équations

(M, M', M',.. . étant des facteurs indépendants de x).

Donc, enfin, toute éijuation du degré m a m racines, et ne saurait en avoir davantage.

2i0. Remarque. — Il existe des équations qui, en apparence, admettent moins de racines qu’il n’y a d'unités dans l'exposant de leur degré. Ce sont celles dont le premier membre a plusieurs facteurs égaux : telle

348 cbàpitir tii.

serait l'équation

qui n’a que quatre racines différentes a, b, c, d, quoiqu'elle soit du dixième degré.

11 est évident qu’aucune quantité * différente do a, b, c, d no peut la vérifier. Car l'existence de cette racine a entraînerait celle du diviseur (x — a) dans le premier membre, ce qui est impossible en vertu du principe établi (234).

Mais la proposée n’en a pas moins lo racines, dont 4 sont égales à a, 3 égales à i, a égales à c, i égale à d.

Nous verrons par la suite que ces sortes d’équations sont plus faciles à résoudre que celles dont les racines n’ont entre elles aucune relation déterminée.