Consétjiience de In seconde propriété
Le premier membre de toute équation du degré m ayant m diviseurs du premier degré de la forme
JC — a, X — ft, X — c, ..., X — h, X — /,
si l’on multiplie ces diviseurs detuc à deux, trois h trois,. .., on obtiendra ainsi autant de diviseurs relatifs du second, du troisième,. .. degré en X, que l'on peut former de combinaisons différentes avec m quantités prises deux à deux, trois à trois, Or ces nombres de combinaisons
sont, comme on 1 a vu (147), exprimés par «i — , m — ^ — •••■;
et les produits obtenus sont d’aillenrs (234) les seuls diviseurs du même degré ([uo le premier membre de la proposée puisse avoir, à moins que l'on ne considère ensuite les produits do cos diviseurs relatifs par des facteurs indépendants de x.
Ainsi la proposée admet ni diviseurs du second degré,
m — — ,r— diviseurs du troisième degré: et ainsi de suite, a J
212. Com/Msition des éipiations. — Si, dans l’équation identique
x"-i- Px""' -i-... = (x — rt)(x — b)(x — c}. ..(x — /),
on effectue la multiplication do ni facteurs du second membre (148), et que l’on compare, terme à terme, les deux membres, on parviendra aux relations suivantes entre les coofOcients P, Q, R, . . . , T, U, et les ra-
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rnOI'RIËTÉS GÉNÉRALES DES fiQUATIO^S. 349
cincs n, b, r,..., k, l de la propos^'o, savoir ;
— a — A— c— — X — / =:P, ou
a — A -f- f -H ... -i- X -(-/ = — P ; ab ac kl = - Q
— abc — abtl — — — iX/ — R , ou abc -f- ab<l -t- . . . -v /X/ = — R ;
± abcd. . .kl = ü, OU abcil. . .kl — üzM.
(On a placé un double signe dans la dernière relation, parce que le produit — ax — Ax— CX...X — / est h- ou — abcd. . . kl, suivant que l'équation est de degré pair ou de degré impair.)
Donc ;
1“ La somme algébrique des racines, prises en signes contraires, est égale au coefficient du second terme ; OU bien, la somme algébrique des racines, prises aeec leurs signes, est égale au coeffeient du second terme, pris en signe contraire.
■x° La somme des produits deux à deux des racines, prises avec leurs signes, est égale au coeffeient du troisième terme.
3° La somme des produits trois à trois des racines, prises en signes contraires, est égale au coeffeient du quatrième terme; ou bien, la somme des produits trois à trois des racines, prises avec leurs signes, est égale au coefficient du quatrième terme, pris en signe contraire.
Et ainsi de suite.
EnGn, le produit de toutes tes racines, prises avec leurs signes ou en signes contraires, est égal au dernier terme; ou bien, le produit de toutes les racines, prises avec leurs signes, est égal au dernier terme de l'équation, pris avec son signe si l’équation est de degré pair, et avec un signe contraire si l'équation est de degré impair.
Les propriétés démontrées (98), par rapport aux équations du second degré, ne sont que des cas particuliers de celles qui viennent d'étro établies. Le dernier terme, pris avec son signe dans ces équations, est égal au produit des racines elles-mêmes, parce que l'équation est de degré pair.
N. J3. — On a supposé, dans tout ce qui précède, le coefficient du premier terme égal à l'unité. S'il en était autrement, il faudrait, avant d'établir les relations ci-dessus entre les coefficients et les racines, diviser toute l’équation par ce coefficient.
243. C'est ici le lieu d’établir deux propositions dont nous aurons plus d’une fois à faire usage par la suite.
CnÀPITRK TII.
3jü
Soit l éiiualioii la plus générale du degré
-t- Nx"-h Px""'-t-. . Tx -4- D = o;
A, B, 11, K, . . . , N, P, . . . , T, U étant des quantités algébriques quel-
conques. (Le ternie Nx" a n termes apres lui, et le terme Kx” " en a n avant lui.)
Cela posé, il peut arriver que des hypothèses particulières faites sur les données qui ont conduit à l'équation proposée anéantissent, soit les « derniers termes, à partir du terme Px"*‘ jusqu'à la fin, soit les « premiers termes, jusiju'au terme Hx™-’^^' inclusivement. Or je dis que, €liiiis te preniii r eus, l’éijuatio/i a un nombre n tle racines milles, et que, dans le second, elle a un nombre n de racines infinies.
Ln elTet, dans le premier cas, l'équation prenant alors la forme
x'(Ax™-"h- o,
. on peut y satisfiiire en posant,
soit x" = o, soit Ax""" .4 B.r"*’*' -4 N = o;
or la première hy])olhèse donne n racines nécessairement nulles (239), et la seconde [m — n) racines qui peuvent être quelconques.
Quant au second cas, faisons, comme au n” 192, x = j dans l’équation proposée.
Il vient, après 1a disparition des dénominateurs,
.4. T/" ' -t- . . .-r Bj -t A =■ o.
équations dont les n derniers coefficients sont, par hypothèse, égaux à zéro, et qui a par conséquent n racines nulles; donc, à cause do 1a relation X = il l'équation proposée à n racines infinies. c. o. F. d.
Introduetion. — En rédéchissant sur les propriétés précédentes, on aperçoit une très-grande analogie entre la recherche des diviseurs relatifs du premier degré d’une fonction entière de x et la résolution d’une i'quation. En effet, il résulte do la propriété du n° 239, que tout polynôme
Ay"-4- Bx"-'-4-Cx”-’-i-...-t-Tx-t- U
est décomposable on m facteurs du premier degré en x; or, pour obtenir cette décomposition, il suffirait d’égaler le polynôme à zéro, et de ré-
soudrc l’équalion par rapport à x\ et réciproquement, si l’on connaissait les facteurs du prémier degré en x qui composent ce polynôme, on connaîtrait par là môme les racines.
Si l’on a besoin de savoir résoudre une équation pour obtenir les diviseurs relatifs d’un polynôme, cela n’est pas nécessaire pour obtenir ce que l’on appelle le plus grand commun diviseur relatif de deux fonctions entières. Les analystes ont môme tiré parti de cette dernière question pour la résolution de certaines classes d’équations. Ainsi, avant de pénétrer davantage dans la théorie des équations, il est nécessaire que nous complétions la recherche du plus grand commun diviseur, question qui n’a été qu’ébauchée dans le premier Chapitre..'
Nous traiterons d’abord le cas de deux fonctions entières de x; après ^uoi nous considérerons celui où les deux polynômes sont entiers par rapport à toutes les lettres et aux coefficients.
