DU PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR RELATIF

24 i. Le plus grand commun diviseur relatif do deux fonctions entières de X est le polynôme du plus haut degré en j:, qui divise à la fois les deux polynômes proposés.

Il résulte évidemment de cette définition que, quand les deux polynômes ont été divisés par leur plus grand commun diviseur, les quotients résultants ne doivent plus renfermer aucun facteur commun en .r; car, s’il en existait un, le produit de ce facteur par le diviseur déjà considéré serait de degré plus élevé en x que ce diviseur, et serait encore diviseur relatif des deux polynômes.

Cela posé : soient r/, rf', d” les seuls facteurs du premier degré en x, communs à deux fonctions entières, et supposons que w, /^, y soient les exposants des puissances de ces facteurs, communes aux deux polynômes. Il est évident que le produit est un diviseur relatif commun aux

deux polynômes. Je dis, de plus, que c*est leur plus grand commun diviseur relatif ; car il résulte du principe établi (234) que les autres diviseurs relatifs communs ne peuvent être que des produits 2 à 2, 3 à 3,.. . des diverses puissances de f/, d\ d”, dont les exposants sont tout au plus égaux à //, /?, 7.

Nous pouvons donc établir, comme premier principe : 1“ que le plus grand commun diviseur relatif de deux fonctions entières est le produit des plus hautes puissances de tous les diviseurs du premier degré en x, communes aux deux polynômes ; 2” que tout diviseur relatif commun à deux fonctions entières divise nécessairement leur plus grand commun diviseur relatif.

CniPITRB VII.

;V. B. — On pourrait encore former une inOnité de diviseurs relatifs communs, de môme degré, en x, que d" x d'' x tf**; mais ce serait (231) en multipliant celui-ci par des facteurs indépendants de x.

245. Second principe. — Le plus grand commun diviseur relatif de deux jonctions entières est le même que celui qui existe entre le poljnôme du plus faible degré et le reste de leur division, ou, du moins, il n'en diffère que par un facteur indépendant de x.

En effet, soient A et B les deux polynômes, D leur plus grand commun diviseur relatif, Q et R le quotient et le reste de leur division, D' le plus grand commun diviseur relatif de B et do R; on a l’égalité

A^BxQ-t-R,

d’où l’on déduit, en divisant alternativement par Det D',

A BQ R A BO R

D’abord, D étant diviseur relatif de A et de B, il s'ensuit que A BO

g et ^ sont des fonctions entières de x; ainsi il doit en être de même

de 5; c’est-à-dire que D est diviseur relatif de B et de R. Donc, d’après

le premier principe, D doit diviser D' qui est le plus grand commun diviseur relatif entre B et R.

Do mémo, D', diviseur relatif de B et de R, l’est aussi de BQ et de II, et, i«r conséquent, do BQ -+- R, ou de A. Ainsi D', diviseur relatif de .4 et de B, doit diviser D, qui est le plus grand commun diviseur relatil entre A et B.

Les deux polynômes D et D' sont donc réciproquement divisibles l’ua par l’autre, ce qui exige qu’ils soient de même degré, et, par conséquent (214), qu’ils soient identiques ou no diffèrent l’un de l'autre que par un facteur indépendant de x.

246. De ces deux principes résulte le procédé suivant pour trouver le plus grand commun diviseur relatif do deux fonctions entières.

Divisez le polynôme du plus haut degré en x par le second ; si la division se fait exactement, le second polynôme est le plus grand commun diviseur cherché. Si vous obtenez un reste, divisez le second polynôme par le reste; en supposant que cette division se fasse exactement, le reste est le plus grand commun diviseur entre ce reste lui-meme et le scconil potynône, et, par conséquent , aussi entre les deux polynômes proposés. Si vous obtenez un second reste, divisez le premier reste par le second,

Digilized by

Tnf.oniE couPLÈTE DU nus gham> cosMU.t ditiseur. 353 et continuez ainsi l’opération jusrpt’n ce rpte vous parveniez à un reste qui divise exactement le reste précédent, et qui sera alors le plus grand commun diviseur cherché.

Lorsque, en appli(|iiant le procédé ci-dessus. on parvient à un reste indépendant de X, on peut en conclure que les deux polynômes proposés sont premiers entre eux, en ce sens qu'ils n'admettent aucun diviseur commun en X-, car le plus grand commun diviseur relatif, divisant (âfo) le reste do chaque di\ision, devrait aussi diviser lo reste indépendant do x auquel on est parvenu, ce qui est impossible.

Nous verrons (239) les modifications que l’on peut, dans la pratique, apixirler à ce procédé, lorsqu’on l’applique à une certaine classe de polynômes.

217. Soit maintenant à déterminer le plus grand commun diviseur relatif de plusieurs fonctions entières A, B, G, E, ... . '

Ap[iclons D le plus grand commun diviseur entre .A et B, D' le plus grand commun diviseur entre IJ et G; je dis que D' est aussi le plus grand commun divi.sour de A, B, G.

En elTet, le plus grand commun diviseur de A, B, G, devant diviser A et B, divise leur plus grand commun diviseur D; d'ailleurs il divise aussi G : ainsi il doit diviser I)', qui est lo plus grand commun diviseur de D et de G; il ne peut donc être d'un degré plus élevé que D'. Mais D’est évidemment diviseur commun aux trois polynômes A, B, G; donc, enfin, D est leur plus grand commun diviseur.

On prouverait d’une manière analogue que lo plus grand commun diviseur D", entre D' et E, est le plus grand commun diviseur entre A, D, G, E; et ainsi de suite.

N. B. — Dans les applications, on commence par chercher le plus grand commun diviseur entre les deux polynômes du plus faible degré, puis entre celui qu’on a ainsi obtenu et le troisième polynôme le plus simple, sous le rapport du degré; etc.

248. En résumant les règles précédentes, on voit que, par une suite de divisions algébriques, on peut toujours obtenir le plus grand commun diviseur relatif entre deux ou plusieurs fmlynômes en x, quelle que soit la nature des coefficients dos diverses puissances de la lettre princi|ialc.

On peut encore observer que, toutes les fois qu’on opère sur des polynômes rationnels, c’est-à-dire sur des polynômes qui ne renferment aucun signe d'extraction de racine, l'application du procédé conduit à des quotients et à des restes qui peuvent être entiers ou fractionnaires, mais qui sont essentiellement rationnels. Ainsi le plus grand commun diviseur relatif auquel on pmvient par ce procédé ne peut être que rationnel.

Alg. D. 23

CBAriTRE vil.

ne rU'S GIUNO commun diviselu algébrique ohuinaire.

210. Fxs polynômps que nou.s allons mainlonanl considérer seront de la nature de ceux sur los(|uels nous avons opéré dans le premic’r Cha- [litre; et nous les a[)pellerons des fiolynùmcx rutinniiels et cnücr^, parce que leur caractère consiste en ce que, composés d’un nombre limité de termes, comme fonriions entières, ils ne renferment dans leur expression aucun des deux signes de la division ou de l’extraction dos racines; c’est-à-dire que les coefficients numériques ou algébriques sont entiers, et ipi’il n’entre ilans ces polynômes que des exposants entiers et positifs pour toutes les lettres.

Un polynôme rationnel cl entier est dit (acteur ou dmseur d’un second j)obnômc de même nature, hrsquil existe un troisième imlcnèune mtionnei et entier qui, niulti/diè par le produit, peut reproduire le second; et c’est par le proct'xlé de la division algébrique ordinaire tpt’on rc-connalt si le premier pidynômc est facteur du second.

Tout polynôme rationnel et entier est dit premier lorsqu’il n’a pas d’autre diviseur rationnel et entier que lui-méme et l’unité qui est diviseur de toute quantité entière ; et deux iKilynômes rationnels et entiers sont dits premiers entre eux, lorsqu’ils n’admettenl aucun facteur commun rationnel et entier, autre que l’unité.

2.'i0. Ces définitions étant bien comprises, nous regarderons comme démontrée la proposition suivante (*) : Tout polynôme premier P (ratiunnel et entier) rpti divise exactement le produit A X B rfc deux autres jtoh nômes rationnels et entiers doit nèeessairrmcnt diviser l'un de ces poiruâmes. Et voici les conséijuenccs (ju’on peut en tirer :

Premièrement. — Concevons qu’un ])olynôme rationnel et entier A soit déjà décomposé dans le produit de plusieurs facteurs premiers, numériques ou algébriques, mais rationnels et entiers, et que l’on ait

A Pr'P”P’"...P"

(plusieurs de ces facteurs premiers pouvant être égaux entn- eux).

Il résulte de la proposition qui vient d’étre énoncée qu’aucun polynôme premier p, différent de P, P', P' P”, ne peut diviser c.ir,

pour divi.scr A, il faut que p diWsc P x PP'P". . . P"; or, s’il est différent de P, il ne peut le diviser, puisque P est premier, et il doit, pir conséquent, diviser P’ P”. ..P". Par la mémo raison, si p est différent

(*) Voir, pour la démonstration, La Note qui est à la fin du Chapitre Vlll.

Digilized by GoQglé

rnCORIE COMPLÈTE DD PLUS GRASD COMMCH DITISECR. 355

de P', il doit diviser P'P".. . P*, et ainsi de suite; d’où l’on conclurait que P doit 6tre égal au dernier facteur P, ce qui est contre l'iiypolhèse.

Ainsi les seuls facteurs rationnels et entiers que A puisse renfermer sont les facteurs P, P', P',..., P, dans lesquels A est déjà décomimsé, ou les prwluits de res facteurs deux à deux, trois à trois, etc.

2ùl. Secondement . — Soient A et B deux polynômes rationnels et entiers, D leur plus grand commun diviseur, c’est-à-dire (31) le pohnôme le plus grand par rnpjmrt aux exposants et aux eoefficients, qui divise exactement les deux polynômes donnés. Si l’on désigne par A' et B' les quotients respectifs do leur division par D, on a (môme numéro) A = A'D, B = B'D, A' et B' étant premiers entre eux.

Cela posé, tout diviseur premier d, commun aux doux polynômes, no pouvant diviser en même temps A' et B’, doit, en vertu de la proposition fondamentale (2'iOl, diviser D. 11 est d'ailleurs évident que tout facteur premier qui divise A sans diviser B, ou vice versa, ne saurait diviser f).

Donc le plus grand commun diviseur de deux polynômes rationnels et entiers enntieni, comme facteurs, tous les diviseurs particuliers communs aux ileii.i /lolynômcs, et ne fseut en renfermer d’autres.

C'est le premier principe du n” 35 appliqué à deux polynômes rationnels et entiers.

2.’(2. Troisièmement. — Soient A et B deux polynômes rationnels et entiers; d, d', d",... les facteurs premiers (rationnels et entiers) communs aux deux polynômes; «, p, q,... les exposants des plus hautes puissances de ces facteurs, communes aux deux polynômes; et supposons, pour fixer les idées, que ces facteurs soient au nombre de quatre. On a les deux égalités ■

A = d' d’> d”> d-' k' , B = d'd’>d‘unw,

A” et B' étant premiers entre eux; car, s'il en était autrement, c'est quo l’on n'aurait pas mis en évidence tous les facteurs premiers communs.

Cela posé, je dis que l'on a, en désignant par D le plus grand commun di\ iseur entre A et B,

D = d"d'fd'ur\

En effet, il est évident d’abord que co produit d" d'<‘ d"^ d”' est diviseur commun des deux polynômes. Do plus, c’est le plus grand qu'on puisse obtenir, puisque (250) les autres facteurs no peuvent être quo les produits, deux à deux, trois à trois,. .. des diverses puissances doc/, d', d’, d“, dont les exposants sont tout au plus égaux à n, p, q, r. [C'est la proposition déjà démontrée (2 li) pour lo plus grand commun diviseur relatif.]