CHAPITRE VII
11 r('?ultc de là que deux polrnômcs rationnels et entiers ne peuvent ai'oir (pCun seul plus grand commun diviseur y c’est-à-dire un seul diviseur commun, dans lequel les coefficients et les exposants soient les plus grands |K)Ssibles, tandis que deux fonctions entières ont uno infinité de plus grands communs diviseurs relatifs (24i).
2o3. Quatrièmement. — On peut, sans aucun inconvénient, introduire ou supprimery dans Vun des jyolynômes A ou B, tel facteur rationnel et entier (juc l'on Juge à propos y pou nui que ce facteur ne se trouve pas déjà dans l'autre polynôme. Car il est évident que le plus grand commun diviseur entre les deux nouveaux polynômes reste le même qu’entre les polynômes proposés, puisqu’il doit se composer des mômes facteurs.
2oi. Cinquièmement. — Passons à la démonstration du second principe établi (3ü).
Observons d’abord que les deux polynômes A et B peuvent toujours être supposés tels, qu’après les avoir ordonnés par rapport à une de leurs lettres communes, a, et avoir divisé le polynôme du plus haut degré, A par exemple, par le second B, on ait obtenu un quotient entier et un reste de môme nature, dans lequel le plus haut exposant de a soit moindre que celui du diviseur.
En effet, pour que, dans chacune des opérations partielles, le quotient soit fractionnaire, il faut que le coefficient du premier terme de chaque dividende partiel no soit pas exactement divisible par le coefficient du premier terme du diviseur; et alors le dénominateur du quotient partiel est ce dernier coefficient lui-môme, ou l’un des facteurs de ce coefficient. Or il peut se présenter trois cas : ou ce coefficient divise en môme tein[>s les coefficients dos autres puissances de a qui entrent dans le diviseur; ou il a des facteurs communs avec tous ces coefficients; ou bien il a, avec quelques-uns seulement, des facteurs communs qui n’entrent pas dans les autres. (On dit, dans ce dernier cas, que tous les coefficients sont premiers entre eux.)
Dans les doux premiers, B contiendrait, comme facteur, ce coefficient, ou l’un des facteurs de ce coefficient; et ce facteur no sc trouvant pas dans le dividende, il ne saurait (251 ) faire partie du plus grand commun diviseur entre A et B. Ainsi (253) on pourrait le supprimer d’avance dans B; et la question serait ramenée à rechercher le plus grand commun diviseur entre A et le résultat B' provenant de la suppression de ce facteur.
Dans le troisième cas, on pourrait multiplier le dividende A par le multiple le plus simple des dénominateurs des quotients fractionnaires obtenus, lequel multiple serait nécessairement premier avee B. Le produit
de A par ce multiple ayant (253) avec B le môme plus grand commun diviseur que celui qui existe entre A et B, on pourrait alors opérer sur ce produit A' et sur B, comme sur les deux polynômes primitifs, et Ton serait alors certain d’avoir des quotients entiers.
Nous pouvons donc admettre a priori que les polynômes A et B satisfassent à la condition ci-dessus énoncée.
Cela posé, je dis que le plus grand commun diviseur entre A et B est le meme que le plus grand commun diviseur entre B e/ R, R désignant le reste de leur division poussée jusqu’à ce que le reste soit de degré moindre que B par rapport à la lettre principale a.
En effet, soient D le plus grand commun diviseur entre A et B, et D' le plus grand commun diviseur entre B et R; on a l’égalité
(0 ot R étant des polynômes entiers) ; d’où, divisant d’abord par D et ensuite par D',
ABxQ R ABxQ R Ü ~ ü Ü D' Ü' IV*
Ces deux dernières égalités prouvent :
i" Que D divisant A, B, et, par conséquent, B x Q, divise aussi R; ainsi D, diviseur commun de B, R, divise (251 ) D', qui est le plus grand commun diviseur de B et de R ;
2" Que D' divisant R, B, et, par conséquent, B x Q, divise aussi A; ainsi D', diviseur commun de B, divise D, qui est le plus grand commun diviseur entre A et B.
Puisque D et D', divisés réciproquement l’un par l’autre, doivent donner des quotients entiers, ces quotients ne peuvent être que Tunité; et l’on a
255. Il nous reste encore à faire une remarque propre à nous guider dans la question qui nous occupe.
Soit A un polynôme rationnel et entier que nous supposons ordonné par rapport à l’une des lettres qui y entrent, a par exemple.
Si ce polynôme n’est pas (249), c’est-à-dire s’il est décomposable en facteurs rationnels et entiers, il peut être regardé comme le produit trois facteurs principaux, savoir :
1® D’w« monôme A, commun à tous les termes de A (ce facteur se compose du plus grand commun diviseur qui existe entre tous les coefficients numériques, multiplié par le produit des facteurs littéraux communs à tous les termes);
CniPITRK vu.
a° Ü Hrt polynôme A, indépendant do », lequel doit (30) se trouver facteur commun à tous les coeflicienls des diverses puissances de a dans les polynômes ordonnés;
3" Ü H» /mlynônw A, dépendant de », et dans lequel les coefficients des diverses puissances de a sont premiers entre eux (2üi), en sorte que l’on a
Quelquefois l’un des facteurs A,, A„ ou tous les deux, se réduisent à l’unité; mais, du moins, telle est la forme la plus générale d’un polynôme rationnel et entier ordonné par rapport à ».
Il résulte de là que, quand il existe un plus grand commun diviseur D entre deux polynômes rationnels et entiers A et B, on a également
D, désignant le plus grand facteur monôme commun, D, lo plus grand facteur polynôme indépendant d’une lettre commune a, et le plus grand facteur polynôme dépendant do cette lettre.
Voici d’ailleurs lo moyen d’obtenir D, :
On eherche d'abord le facteur monôme A, eommun à tous les termes de A. Ce facteur est, en général, composé de facteurs littéraux qui se découvrent à la simple inspection des termes, puis d’un coclEcient numérique que l’on obtient en appliquant aux divers coeffirients numériques de A le procédé établi en Arithmétique (lo2) pour trouver le plus grand commun diviseur entre plusieurs nombres à la fois.
On eherche de même le facteur monôme B, commun à tous les termes de B; puis on détermine le plus grand diviseur D, commun à A, et B,.
Ce diviseur D, est mis à part, comme formant le premier facteur du commun diviseur cherché. On supprime d'ailleurs les facteurs A, et B, dans les deux polynômes proposés ; et la question est ramenée à chercher lo plus grand commun diviseur entre deux nouveaux polynômes A' et B' débarrassés de tout facteur monôme. C’est donc à deux polynômes de celte espèce qu’il convient d’appliquer le procédé dont nous allons donner le développement.
2oC. Il [)cut se présenter plusieurs circonstances, eu égard au nombre des lettres que A' et B’ renferment.
1° A' et B’ ne renfermant qu'une seule lettre a.
Si l’on ordonne A' et B' par rapport à », les coefficients seront néces-
THÉORIE COMPLÈTE DU PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR. 35y saircment premiers entre eux, puisqu'ils sont numériques, et qu’on a déjà retiré les facteurs monomes. Ainsi, dans ce cas, il n’y a lieu à rechercher que le plus grand facteur commun dé|ientlant do a, savoir D, (23o).
Pour l'obtenir, on commence (2Ü-1) par préjarer le polynôme du plus haut degré, de manière que son premier terme soit exactement divisible par le premier terme du diviseur. Cette préparation consiste à multiplier tr)ut le <livi(lemle par le cai ffu U nl du premier terme du diviseur, nu par un faeteur de ce eoeffieient, ou (3li) par une certaine puissance de ce cneffieicnt, afin do pouvoir exécuter plusieurs opérations de suite sans nouvelles préparations.
On effeetue alors la division , et Von pousse l'opération jusi/u’à ce qu’on obtienne un reste de plus faible degré que le polynôme qui a servi de diviseur.
On cherche si, entre les cncjjîcients de ce reste (qui no peuvent être que des nombres), it n’existerait pas un facteur commun qu’on aurait soin de supprimer, comme ne pouvant faire [larlie du plus grand commun diviseur cherché; après quoi, on oiière sur le second imlynôme et sur le reste, comme on a opéré sur les deux /ml mômes A' et B’.
On continue cette série d'o/icrations jusqu’à ce r/ue Von soit parvenu à un reste diviseur exact du reste précédent, auquel cas ce reste diviseur est le plus grand commun diviseur qui existe entre A' et B'; et D, X D, exprime alors le plus grand commun diviseur entre A et B; ou h\ec\ , jusqu’à ce qu’on trouve un reste indé/>endant de a, c’esl-à-dire numérique, et c’est un signe certain que les deux [wlynômcs A' et B' sont premiers entre eux.
%° X' et B' renfermant deux lettres a et b.
Après avoir ordonné ces polynômes par rapport à a, il faut d'abord procéder à la recherche du facteur polynôme D, indé/>cndant de «(233).
Pour cela, on commence /lar déterminer le /dus grand commun diviseur X, entre tous les cm-JJicients des diverses /ndssances de a ilans le polynôme X'. Ce commun diviseur s'obtient en appliquant le procédé (2i7) relatif à la recherche du plus grand commun diviseur entre plusieurs polynômes à la fois, ainsi que la règle qui a été établie dans le cas précédent, puis(|uc ces coefficients no renferment que la seule lettre b. On détermine de même le /dus grand commun diviseur B,, entre tous les roejfficients de B'. Comparant ensuite et B„ on met à />nrt leur /dus grand commun diviseur D„ comme^faisant partie du plus grand commun diviseur cherché; ell’o/i su/>prime d’ailleurs les facteurs A, et B, ebms A' et B'; ce qui donne lieu à deux nouveaux polynômes A' cl B' dont les coefficients sont /sremiers entre eux, et auxquels on peut, par conséquent, appliquer ce qui a été dit dans le premier cas.
CnAPITRE VII.
Toutefois, il fniil avoir le soin, pour chaque reste, de s'assurer sites coefficients des diverses puissances de la lettre a ne renferment juis un facteur commun, qu’on supprimerait alors comme étant étranger au commun diviseur. Nous avons déjà fait voir (38) que ces suppressions sont absolument indispensables.
On obtient ainsi pour .\* et B’ Je commun diviseur D,; et |>our les deux polynômes A et B, le plus grand commun diviseur est D, x D, x Dj.
.V. B. — En appliquant à A’ cl B' le procédé indiqué dans le premier cas, on reconnaît encore que ces deux polynômes sont premiers entre e«jr, ô ce signe, (ju'on obtient un reste, soit numérique, soit fonction de b, mais indép<-ndant de a. .Alors .A et B n'ont pour plus grand commun diviseur que n, X D,.
3“ A' et B' renfermant trois lettres a, b, c.
Les doux polynômes étant ordonnés par rapport à a, on détermine p’abord le plus grand commun diviseur indéfiendant de a, ce <|ui se fait en appliquant aux coefficients des diverses puissances de a, dans les deux polynômes, le procédé (217) et la règle du second cas, puisque ces coefficients poljTiômcs ne renferment que les deux lettres b, e.
Le iKifynôme indépendant D, étant ainsi mis en évidence, et les facteurs A, et B, qui l'ont donné, étant supprimés dans A' et B’, il en résulte doux polynômes A’ et B' dont les coefficients sont premiers entre eux, et auxquels on peut, par conséquent, appliquer ce qui a été dit dans les deux cas précédents.
Et ainsi de suite.
Nous engageons les jeunes gens à se pénétrer du procédé que nous venons d’établir, et à tâcher d’en bien saisir l’esprit.
Nous allons en faire l'application à quelques exemples.
2ü7. Soient les deux polynômes
a^d'—c’d^ — n’c’-f- c‘, et — lac' -h — iacd.
Le seconri [lolynôme est le seul qui renferme un facteur monôme ; ce facteur est a. En le supprimant et ordonnant par rapport à d, on obtient les deux nouvelles expressions
(a’ — c’)</’— «’c’ -1- c‘, et (aa’ — iac)d — af--,-c*.
Il faut d’abord procéder à la recherche du commun diviseur indépendant do la lettre d.
Or, si l’on considère le coefficient a’— c’et —a’c’-+-c‘ du premier polynôme, on observe que — a’c’-hc* peut se mettre sous la forme — c’(a’ — c*), d’où l’on voit que a’ — c’ est facteur commun cuire les
TntOHIE COMPLÈTE DU PLUS GBAND COMMUN DIVISBUH. 36l
deux coefficients du premier polynôme. De môme les coefficients du second, 20* — 2 ne et — ac’-hc‘, reviennent à a a (a — c) et — c’(n — c); donc fl — e est facteur commun entre ces coefficients.
Comparons maintenant les deux facteurs a’ — c’ et a — c. Comme ce dernier divise l’autre, il s’ensuit que a — c est un facteur commun aux deux polynômes proposés; et c’est le plus grand diviseur imlépendanl de d.
Supprimons d'ailleurs a’ — c’dans le premier polynôme, et a — r dans le second ; on obtient pour les résultats de cette suppression d’ — e‘ et aad — c’y polynômes auxquels il faut appliquer le procédé ordinaire.
d’ — c’ ) aad — c’
^n’d’— 4fl’c’ ) aad-rc’
-t- aae’d—
— Tô’c’-.-c*.
Explicniion. — Après avoir multiplié le dividende par 4 fl’, et effectué deux divisions consécutives, on obtient pour reste — 4«’c’-+- c‘, polynôme indépendant de la lettre principale r/; donc les deux polynômes d’ — c’ et and — c’ sont premiers entre eux. .Ainsi le plus grand commun diviseur des polynômes proposés est a — c. '
Reprenons le même exemple en ordonnant par rapport à n. Il vient, après la suppression du facteur 2 dans le second polynôme,
(r/’— c’)fl’ — c’d’-s-c'y et 2f/fl’ — (2crf-t- c’)a -s- c’.
En jetant les yeux sur le second polynôme, on reconnaît facilement que les coefficients des diverses puissances de a sont premiers entre eux. Quant au premier polynôme, on observe que le coefficient — c’r/’-i-c' du second terme, ou de n*, revient à — c’), d'où il suit que f/’— c’ est facteur commun aux deux coefficients; et comme ce facteur n’entre pas dans le second polynôme, on peut le supprimer dans le premier sans en tenir aucun compte, comme ne faisant pas partie du commun diviseur.
Opérant cette suppression, puis prenant le second polynôme pour dividende et le premier pour diviseur (afin d’éviter la préparation), on a :
i" adn’ — ard\a — e’ ^a’—c’
— c’ I ) ad
Reste — acd\n s- ade’
ou bien fl — c
(on supprimant le facteur commun — acd — c’);
CnAPITRE VU.
— C* I rt — c ac — r* ^ « -f- c
Explication. — Après avoir eiïecluô la première division, on obtient un reste qui renferme le facteur — icd — dans ses deux coeflicients ; car ar/c*-*- c* = — c(— 2cr/— r’). Ce facteur étant supprimé, le reste se réduit ha — c, polynôme qui divise exactement fl’ — c’.
Donc a — c est le plus grand commun diviseur cherché.
Les commençants feront bien do re^)rendre le môme exemple en ordonnant par rapport à c.
2i>8. Il existe un cas assez remarquable, dans lequel on peut obtenir le plus grand commun diviseur plus aisément que par le procédé général ; c’est celui où l*un des deux polynômes renferme une lettre qui ne se trouve pas dans Vautre.
Dans ce cas, comme il est évident que le plus grand commun diviseur doit être indépendant do la lettre, il s’ensuit que, si l’on ordonne par rapport à cette lettre le polynôme qui la renferme, le plus grand commun diviseur cherché sera le même que celui qui existe entre les coefficients des diverses puissances de la lettre ordonnatrice et le second polynôme , lequel, par hypothèse, en est indépendant.
A la vérité, on sera conduit, par ce moyen, à déterminer le plus grand commun diviseur entre trois ou un plus grand nombre do polynômes; mais ceux-ci seront beaucoup plus simples que les polynômes proposés. Souvent môme il arrive que quelques-uns des coefficients du polynôme ordonné sont des monômes, ou bien on reconnaît, à leur seule inspection, qu’ils sont premiers entre eux; et, dans ce cas, on est certain que les polynômes proposés sont aussi premiers entre eux.
Ainsi, dans Icxeinple (2o7), traité par le premier moyen, après avoir supprimé le facteur a — c commun aux deux polynômes, ce qui a donné pour résultats
d^ — c’ et lad — c’,
on reconnaît immédiatement que ces deux nouveaux polynômes sont premiers entre eux ; car le second renfermant la lettre a qui n’entre pas dans le premier, il résulte do ce qui vient d’ôtre dit que le plus grand commun diviseur doit se trouver entre les coefficients et — c’ : or ces deux quantités sont évidemment premières entre elles; donc, etc.
Soient, comme application du cas que nous examinons, les deux polynômes
Zhcq -h Zomp -t- i8ôc -h Smpq
3Ga
TnCORIE COMPLÈTE DU PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR. 363
et
^luU| — 42/» -t- i\nd— yfgq.
Comme 1/ est la seule lettre commune à ces doux polynômes (qui d'ailleurs ne renferment pas de facteurs monômes], on pourrait les ordonner par rapport à cette lettre, et suivre le procédé ordinaire. Mais observons que b se trouve dans le premier polynôme, et non dans le second ; donc, si l'on ordonne le premier par rapport à ô, ce qui donne
(3cy -- i8c)i -t 3omp bwpq,
on peut assurer que le plus grand commun diviseur cherché est le même que celui qui existe entre le second polynôme et les deux coefDcients
3r</-t-i8c, 3oriip -i-
Or le premier de ces deux coefficients peut se mettre sous la forme Zr{q -+■ 6), et l’autre revient à 5nip(q -r- 6); d’où il suit que </ -t- 6 est le seul facteur commun à ces deux coefficients. Il suffit alors de voir si q -r- G, qui est un diviseur premier, est facteur du second polynôme. Or ce polynôme, ordonné par rapport à <7, revient à
et comme la seconde partie i^nd— 4i/g est égale à 6(4«rf — 7/g), il s’ensuit que ce polynôme est divisible par «y G, et donne pour quotient 4 ad - qfg.
Donc, enfin, 7 -t- G est le plus grand commun diviseur des deux polynômes proposés.
2.30. Nous terminerons cotte théorie par un rapprochement entre le procédé du plus grand commun diviseur relatif et celui du plus grand commun diviseur ordinaire, en traitant successivement par les deux procédés un exemple dans lequel les deux polynômes sont, non-seulement entiers par rapport à x, mais encore par rapport aux autres nombres qui y entrent; parce que, dans la suite, nous aurons à opérer sur beaucoup d'exemples de ce genre.
Soient proposés les deux polynômes
et
Gx*— 4x‘— iix’ — 3x’ — 3x — I ix' -r ax’ — i8x’-i- 3.r — 5.
