Évanouissement du second terme de toute équation

Ou conçoit qu’une équation d’un degré donné est d autant plus aisée à n^udre, qu'elle renferme moins de puissance.s do l'inconnue; c'est ainsi que l'équation 3^= q donne sur-le-cbamp j = ± j/.y, tandis que l'équation complète .r’-t- px = </ a besoin d’une préparation pour être résolue.

Or, une étjuation quelconque étant donnée, on peut toujours, au moyen d'une transformation convenable , ramener sa résolution à celle d'une autre ét]uation privée du second terme.

Soit, en effet, l'étiuation générale

j"-4- Px”-'-t- . .-hTx U = o.

Posons .r — u -i- x', u étant une nouvelle inconnue, et x' une indéterminée dont nous pouvons dispo.ser à volonté; il vient

(rt s- x')” P(h x')""' H- 0(« -+- x' . -i- T(« -t- jt') T U — O,

ou, développant d'après la formule du binôme, et ordonnant par rapport aux puissances décroissantes de. «,

h” -1- mx' H™ ' .1- m ------ r'’ -s-

- P (/>! — i) Px'

Puisque x' est arbitraire, nous pouvons poser nix'-v- V o, d’où l’on tire

Portant cette valeur dans l’équation précédente, on parviendra, tout

ËVANOl'ISSEMENT DL' SECOND TEBSB.

calcul fait, à une transformée (elle que

privée du second terme. Celte équation une fois résolue, on obtiendra les valeurs de x qui correspondent aux valeurs de «, en remplaçant, dans la relation

X — U x\ ou X = H 1

ni

la lettre u par chacune de ses valeurs.

D'où l’on peut conclure celte règle générale :

Pour faire disparaître le second terme d'une équation, remplacez l’inronniie par une nouvelle inconnue augmentée du coefficient du second terme pris en signe contraire et divisé par te degré de l'éi/uatinn.

On peut reconnaître à posteriori que celle substitution doit atteindre le but qu’on s’était proposé.

En effet, soient «, b, c,d,... les m racines do l'équation donnée; il P P

résulte de l.i relation x — u , qui donne u = x -i — j que les va-

m in

leurs de u sont

u=a~ 1 OH , CH ) d ■<

la somme des nouvelles racines est donc

mais on a

la somme précédente se réduit donc à — P h- P, ou à o ; ain.si le coefficient du second terme de la transformée doit être nul de lui-même.

N. JS. — On a supposé le coefficient du premier terme do l'éiiuation égal à l'unité; mais si l'équation était de la forme

Aj” Px^-'h-. ..h-Tx h- ü = O,

en posant x — « -1- x', on obtiendrait, pour le coefficient do

expression qui, égalée à zéro, donnerait