CHAPITRE VII

donc le dénominateur de la valeur de x' serait alors le produit du degré de l'éqiuilion par le eoeffxeicnt A du premier terme.

Appliquons la règle précédente à l’équation

x' -J- px — q.

Si l'on pose x = « — elle devient

ou, cflectuant les calculs cl réduisant

«' —f~=-.q\ donc H -- 1 , ! q ,

•I Va

par conséquent on obtient pour les deux valeurs de x correspondantes

2CI. Au lieu de faire disparaître le second terme, on peut demander que l’équation soit privée du troisième, du quatrième, etc.; il suffit pour

cela d'égaler à zéro le coefficient do Par exemple, pour

chasser le troisième terme, on posera, dans l’équation transformée cidessus,

m — - x”-r- {m — i ) Px' -t- Q r= o,

d’où l’on déduira pour x' deux valeurs dont chacune, substituée dans la transformée, la réduira à la forme

- P' R'//’"-’ . ,1- T'u -+-ll'= O.

Au delà du troisième terme, il faudrait résoudre des équations de degré supérieur au second |X)ur obtenir la valeur de x’; ainsi, pour opérer la disparition du dernier terme, on aurait à résoudre l’équation

Px'--'-4-...-(-Tx'h-U = o,

qui n’est autre chose que la proposée, dans laquelle on a remplacé x par x'.

Il peut arriver que la valeur x*= — — i qui (200) fait dLsparattre le

second terme, donne également lieu à la disparition du troisième ou d’un tout autre terme. Par exemple, pour que le second terme et le troisième

disparaissent à la fois, il faut que l’équation x' — puisse s’accorder

LOI DB FORMATION DES POLYNÔMES DÉRIVÉS. oGq

avec celle-ci

m— - — x”-!- (;« — i)Px'-i- Q = O.

Or, si I on remplace, dans cette dernière, x' par — — > il vient m — I P’ P’

m — i) H 0 = O, ou (hi — l)P' — 2«/0 = O.

Ainsi, toutes les fois que cette relation existera entre les deux coefficients P et Q, la disparition du second terme donnera lieu à celle du troisième.

262. Remarque sur la transformation précédente . — Loi de forntation des pol) nômes dérivés,

La relation x = u-v- x\ dont nous nous sommes servi dans les deux numéros qui précèdent, indique que les racines de la transformée sont égales à celles de la proposée, diminuées ou augmentées d'une même quantité. Tantôt cette quantité est introduite dans lo calcul, comme une indéterminée dont la valeur est ensuite fixée de manière à remplir une condition donnée ; tantôt c’est un nombre particulier et donné à priori, qui exprime une différence constante entre les racines d’une première équation et celles d’une autre équation que l’on veut former.

La transformation qui consiste à remplacer x par u h- x' dans une équation est d’un usage très-fréquent dans la théorie des équations. Or il existe un moyen assez simple d’obtenir, dans la pratique, la transformée qui résulte de cette substitution.

Pour cela, intervertissons l’ordre des termes dans « -t- x'; c’est-à-dire remplaçons x par x'-+- u dans l'équation

x"-t- Px"-' Qx’*-’-i- Rx"-"-i . - Tx -4- U = o;

on trouve, en développant et ordonnant par rapport aux puissances ascendantes de U,

x'"" -t- nix’""‘ ii-hm ^ x'"~^ u’-)-. O.

-H Px'— '-(-(m - i) Px'— • -i-m (m - i) P-*’’"'*

-4- Qx""- - 2) Q x'"-’ -H ( m - 2 ) — ~ Q x'“- '

.V Tx' -I- T -t-U

.tlS'.B.

370 CHAPITRE Vil.

Si l'on fait attention à la manière dont so composent les coefficients des diverses puissances de k, on verra que :

1° Le coefficient de u° n’est mitre chose que le premier membre X de la proposée, dans lequel on a remplacé x par x’. Nous désignerons dorénavant ce coeflicient par x'.

a” Le coefficient de u' se forme au moyen du précédent ou de X', en multipliant chacun des termes de X' par l’exposant de jd dans ce terme, et diminuant cet exposant d’une unité. Nous appellerons Y' cc coefficient.

3° Le coefficient de «’ se forme au moyen de Y', en multipliant chacun des termes tic X' par l’exposant de x' dans ce terme, divisant le produit par a, et diminuant ensuite l’exposant de x' d’une unité. Si l’on

appelle ~ ce coefficient, il est clair quo Z' se forme au moyen do Y',

comme Y' so forme au moyen do X' ; et ainsi de suite.

En général , un coefficient de rang quelconque, dans la transformée ri-dessus, se forme au moyen du précédent, en multipliant chacun des termes de celui-ci par l’exposant de x' dans ce terme, divisant le produit par le nombre des coefficients qui précèdent celui que l’on considère, et diminuant ensuite l'exposant de x' d'une unité.

Celte loi, d'après laquelle les coefficients X', Y', — i — > • • • dérivent

les uns des autres, est évidemment une conséquence immédiate de celle qui régit les difiérents termes de la formule du binôme (H9).

Les expressions Y', Z', V’, W',. . . sont appelées les polynômes dériivs de X', parce que Z' se déduit ou dérive de Y' comme Y' dérive de X’; V' dérive do Z' comme Z' dérive de Y'; et ainsi do suite. Y' est dit le premier polynôme dérivé , V le second, etc.; rappelons-nous d’ailleurs quo X' n’est autre chose quo le premier membre X do la proposée, dans lequel on a remplacé x par x’.

N. if. — On a supposé le coefficient du premier terme do la propiosée égal à I : s'il était tout autre, la loi de formation des coefficients de la transformée serait absolument la môme ; et le coefficient de serait égal à celui de x".

2(i3. Pour faire connaître l’usage de cette loi dans la pratique, proposons-nous do faire évanouir le coefficient du second terme de l’équation

x' I7JT — gx -t- 7 = O.

Il faut, d'après la règle du n° 2G0, poser

ou X = 3 -t- U,

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