LOI DE FORMATION DES POLYNÔHES DÉRIVÉS

ce qui donnera une transformée du quatrième degré et de la forme

et tout se réduit à calculer X', Y', — > •

Or on a, en vertu de la loi précédente,

X'=^3)‘-i2(3)’-+-i7(3)=— 9(3)'-i-7, ou X' = — iio; Y'=4(3)’-36(3)’-i-34(3)'-9, ou Y'=-ia3;

Ç = 6(3)‘-36(3)' + i7, ou | = -37,

^ = 4(3)'-i2, ou ^ = 0.

Ainsi la transformée devient

«' — 37u’— ia3u — 110 = 0.

Soit encore proposé de transformer l'équation 4^:* — 5j:’-)-7jr— 9 = 0

en une autre dont les racines surpassent de {'unité chacune des racines de la proposée.

Posons la relation u = j: -i- i ; il en résulte

ce qui donne la transformée

X'= 4(— i)’— 5(— 7(— i)‘— 9, ou bien X' = —

Y'= lal— ij’ — io(— i)' 4- 7, ou bien Y'=a9;

— = i2(— i)' — 5, ou bien — = — 17;

^ = 4, ou bien ---j = 4.

Ainsi la transformée devient

4«’ — 17a’ t- aga — a5 = O

S'ja CBàPlTBE Vil.

On peut s’exercer sur les exemples suivants ;

Faire évanouir le second terme dans les étjuations.

i“ Jt'— lox' 7J:' 4- 4 J- — 9 = O.

Résultat ; — 33tt" - i5iu — 73 = o.

3x’ -(- i5x’-+- aSx — 3 = o.

Résidtat ; 3a’ - = O [voir n° 261 ).

3° Transformer l’éi/uation 3x' — i3x’ -+- 7x’— 8x — 9 = o en une autre dont les racines soient plus petites que chacune des racines de la

pro/josée, de la fraction

Résultat .• 3 a' — 9 a’ — 4 “■ " 5" = °-

Nous aurons souvent occasion do rappeler la loi de formation des po~ Ij ndnics dérivés.

264. Ces polynômes jouissent d’une propriété très-remarquable que nous pouvons faire connaître dès à présent.

Soient

X = o ou Px“"' f- . . . = O

une équation proposée, et a, b, c,..., l les m racines de celte équation; on a (234) l’équation identique

x” i- Px” ‘-4.. . = (x — n)(x — ô)(x — r). ..{x — /).

Cela posé, remplaçons x par x'-t- a, ou plutôt par x h- a (pour éviter les accents) ; il vient

ou bien, changeant dans le second ftts l’ordre des termes et regardant chacun des binômes x — a, x — b,., . comme une seule quantité,

Or, si l’on effectue les multiplications dans chacun des deux membres, on obtiendra d’abord pour le premier, en vertu de ce qui a été dit dans le numéro précédent,

X Ya -t- - a’ -I- . . . -t- a",

X étant le premier membre de la proposée, et Y, Z,. .. les polynômes dérivés de ce premier membre.