Appliquons cette méthode à quelques exemples

Reconnaître si l'équation

a des racines égales, et hs déterminer s’il en existe.

On a (262), pour le polynôme dérivé,

Or, en appliquant à ces deux polynômes le procédé du plus grand commun diviseur, on trouve

ce qui prouve que l’équation a deux racines égales h 3.

Divisant son premier membre par (x — 3)*, on obtient

2di’-+-i = o; d’oô x=±:-v^— 2.

Ainsi, l’équation est complètement résolue, et elle a pour racines

3, 3, ^--v/ — 2, et — -V''— 2.

Soit pour second exemple

x' — 2a* H- 3a* — 7X*-+- 8x — 3 = o; on a, pour le polynôme dérivé,

THÉORtE DES RACINES ÉGALES. SS'J

et pour commun diviseur

2X-+-I ou (x— i)*;

donc la proposée a trois racines égales à i.

Divisant son premier membre par (.r - ij’ ou par x 3x'-f- 3,r - i on trouve pour quotient - *

3 1= O ; d’où ;r - - — ^ — m

L équation est donc encore complètement résolue.

Soit la nouvelle équation

x= T- 5jr‘+ 6x- - 6x‘ - i5a ' - 3x’-t- 8x -4- 4 = o;

le polynôme dérivé est

■7x''->r- 3ox'-h 3ox'— a4x 45:t’— 6x -t- 8; et I on trouve pour commun diviseur

L équation x -t-Sx’-f-x’— 3x — a = o no peut pas être immédiate- ^nt risolue; mais en y appliquant la méthode des racines égales, c’est- Mire en recherchant le plus grand commun diviseur entre le premier membre et son polynôme dérivé, 4x>h- gx’-i- ax - 3, on trouve pour commun divn^ur x -i- i ; ce qui prouve que x i entre au carré dans

X -i- 3x*-f x’— 3x — a, et au cube dans le premier membre de la proposée. '

Si I on divise x'-t- Sx’ -t- x’ — 3x — a par (x -h i)’ ou x’-t- ax — i il vient pour quotient x=-Kx a, polynôme qui, égalé à zéro, donné Ifô deux racines x = i, x = — a, ou les deux facteurs x - i et x -i- a. On a donc

Ainsi le premier membre de la proposée est de la forme (x-+-i)>(x-i)>(x-Ha)’;

ou bien, en d’autres termes, l’équation a trois racines égales à - 1, deux égalés à 1 , et f/eux égales à — a.

Voici de nouvelles applications :

•^'-7x“ +IOX 4-aax‘-43x’-35x’-,-48x-f-3C = o, (x-a)»(x-3)»(x-M)’ = o;